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混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 带有期望极点位置的控制器，用于扰动系统的情况

混合 $H_{2}/H_{\infty }$ 输出反馈控制一直被认为是多目标最优控制问题的一个例子。在这个问题中，控制反馈应该对多个规范做出适当的响应。在 $H_{2}/H_{\infty }$ 控制器中， $H_{\infty }$ 通道用于提高设计的鲁棒性，而 $H_{2}$ 通道保证了系统的良好性能，并使用额外的约束将极点置于期望的位置。

系统

我们考虑线性系统的以下状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=(A+\Delta A)x+(B_{1}+\Delta B_{1})u+B_{2}w\\z_{\infty }&=C_{\infty }+D_{\infty 1}u+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=C_{2}x+D_{21}u\end{aligned}}$

其中

$x\in \mathbb {R} ^{n}$ ， $z_{2},z_{\infty }\in \mathbb {R} ^{m}$ 分别为状态向量和输出向量

$w\in \mathbb {R} ^{p}$ ， $u\in \mathbb {R} ^{r}$ 分别为扰动向量和控制向量

其中， $A$ 、 $B_{1}$ 、 $B_{2}$ 、 $C_{\infty }$ 、 $C_{2}$ 、 $D_{\infty 1}$ 、 $D_{\infty 2}$ 和 $D_{21}$ 是相应维度的系统系数矩阵。

$\Delta A$ 和 $\Delta B_{1}$ 是表示时变参数不确定性的实值矩阵函数。

此外，参数不确定性 $\Delta A$ 和 $\Delta B_{1}$ 的形式为 $[\Delta A\,\,\,\,\,\Delta B_{1}]=HF[E_{1}\,\,\,\,\,E_{2}]$ ，其中

$H$ 、 $E_{1}$ 和 $E_{2}$ 是已知矩阵，且具有适当的维度。
$F$ 是一个包含不确定性的矩阵，它满足

$F^{T}F<I$

数据

我们假设系统的四个矩阵， $A$ ， $\Delta A$ ， $B_{1}$ $\Delta B_{1}$ ， $B_{2}$ ， $C_{\infty }$ ， $C_{2}$ ， $D_{\infty 1}$ ， $D_{\infty 2}$ 和 $D_{21}$ 是已知的。

优化问题

对于具有以下反馈律的系统
$u=Kx$
可以得到闭环系统
${\begin{aligned}{\dot {x}}&=((A+\Delta A)+(B_{1}+\Delta B_{1})K)x+B_{2}w\\z_{\infty }&=(C_{\infty }+D_{\infty 1}K)x+D_{\infty 2}w\\z_{2}&=(C_{2}+D_{21}K)u\end{aligned}}$

传递函数矩阵是 $G_{z\infty w}(s)$ 和 $G_{z2w}(s)$
因此，系统的 $H_{\infty }$ 性能和 $H_{2}$ 性能要求分别为
$||G_{z\infty w}(s)||_{\infty }<\gamma _{\infty }$
并且
$||G_{z2w}(s)||_{2}<\gamma _{2}$
. 为了系统响应性能，我们引入闭环特征值位置要求。令
$D={s|s\in C,L+sM+sM^{T}<0},$
它是在复平面上一个区域，可以用来约束闭环特征值位置。因此设计一个状态反馈控制律，使得

$H_{\infty }$ 性能和 $H_{2}$ 性能都得到满足。
闭环特征值都位于 $D$ 中，即

$\,\,\,\,\,$ $\lambda (A+B_{1}K)\subset D$ .

LMI: 混合 $H_{2}$ / $H_{\infty }$ 以及所需极点位置的 LMI

如果存在标量 $\alpha ,\,\,\,\beta$ 、两个对称矩阵 $X,Z$ 和一个矩阵 $W$ ，满足

最小化 $c_{2}\gamma _{2}^{2}+c_{\infty }\gamma _{\infty }$
受制于
${\begin{aligned}&{\begin{bmatrix}\Psi (X,W)&B_{2}&(C_{\infty }X+D_{\infty 1}W)^{T}&(E_{1}X+E_{2}W)^{T}\\B_{2}^{T}&-\gamma _{\infty }I&D_{\infty 2}^{T}&0\\C_{\infty }X+D_{\infty 1}W&D_{\infty 2}&-\gamma _{\infty }I&0\\(E_{1}X+E_{2}W)&0&0&-\alpha I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}\langle AX+B_{1}W\rangle +B_{2}B_{2}^{T}+\beta HH^{T}&(E_{1}X+E_{2}W)^{T}\\E_{1}X+E_{2}W&-\beta I\\\end{bmatrix}}<0\\&{\begin{bmatrix}-Z&C_{2}X+D_{21}W\\(C_{2}X+D_{21}W)^{T}&-X\\\end{bmatrix}}>0\\&{\text{trace}}(Z)<\gamma _{2}^{2}\\&L\otimes +M\otimes (AX+B_{1}W)+M^{T}\otimes (AX+B_{1}W)^{T}<0\\\end{aligned}}$