控制中的 LMI/页面/二次多面体 H2 最优状态反馈控制

控制中的 LMI/页面/二次多面体 H2 最优状态反馈控制

二次多面体全状态反馈最优 $H_{2}$ 控制

对于具有多面体不确定性的系统，全状态反馈是一种控制技术，它试图根据给定的性能规范将系统的闭环系统极点置于指定位置，例如要求稳定性或限制输出的过冲。通过最小化$H_{2}$ 系统的范数，我们正在最小化噪声对系统的影响，作为性能规范的一部分。

系统

考虑具有以下状态空间表示的系统。

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{1}q(t)+B_{2}w(t)\\p(t)&=C_{1}x(t)+D_{11}q(t)+D_{12}w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

其中 $x\in \mathbb {R} ^{m}$，$q\in \mathbb {R} ^{n}$，$w\in \mathbb {R} ^{g}$，$A\in \mathbb {R} ^{mxm}$，$B_{1}\in \mathbb {R} ^{mxn}$，$B_{2}\in \mathbb {R} ^{mxg}$，$p\in \mathbb {R} ^{p}$，$C_{1}\in \mathbb {R} ^{pxm}$，$D_{11}\in \mathbb {R} ^{pxn}$，$D_{12}\in \mathbb {R} ^{pxg}$，$z\in \mathbb {R} ^{s}$，$C_{2}\in \mathbb {R} ^{sxm}$，$D_{21}\in \mathbb {R} ^{sxn}$，$D_{22}\in \mathbb {R} ^{sxg}$ 对任何 $t\in \mathbb {R}$。

为系统矩阵添加不确定性

$A,B_{1},B_{2},C_{1},C_{2},D_{11},D_{12}$

新的状态空间表示

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=(A+A_{i})x(t)+(B_{1}+B_{i})q(t)+(B_{2}+B_{i})w(t)\\p(t)&=(C_{1}+C_{i})x(t)+(D_{11}+D_{i})q(t)+(D_{12}+D_{i})w(t)\\z(t)&=C_{2}x(t)+D_{21}q(t)+D_{22}w(t)\\\end{aligned}}$

数据

这个 LMI 所需的矩阵是

优化问题

回顾状态反馈下的闭环是
$S(P,K)=$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A+B_{22}F&&B_{1}\\C_{1}+D_{12}F&&D_{11}\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$

这个问题可以被公式化为 $H_{2}$ 最优状态反馈，其中 K 是一个控制器增益矩阵。

LMI: 用于二次多面体 $H_{2}$ 最优的 LMI

状态反馈控制
$||S(P(\Delta ),K(0,0,0,F))||_{H_{2}}\leq \gamma$
$X>0$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}AX+B_{2}Z+XA^{T}+Z^{T}B_{2}^{T}&&B_{1}\\B_{1}^{T}&&-I\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A_{i}X+B_{2,i}Z+XA_{i}^{T}+Z^{T}B_{2,I}^{T}&&B_{1,i}\\B_{1,i}^{T}&&0\end{bmatrix}}<0\quad i=1,......,k\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}X&&(C_{1}X+D_{12}Z)^{T}\\C_{1}X+D_{12}Z&&W\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&&(C_{1,i}X+D_{12,i}Z)^{T}\\C_{1,i}X+D_{12,i}Z&&0\end{bmatrix}}>0\quad i=1,......,k\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\\TraceW<\gamma \end{aligned}}$

结论

通过 $F=ZX^{-1}$ 可得到 $H_{2}$ 最优状态反馈控制器。

实现

https://github.com/JalpeshBhadra/LMI/blob/master/H2_optimal_statefeedback_controller.m

相关 LMI

$H_{2}$ 最优状态反馈控制器

外部链接

• 最优与鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于 LMI 在控制中的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性及其应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 编制的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 编写的关于 LMI 的可下载书籍。