控制中的LMI/页面/降阶状态估计

进行中，描述正在编写

在本页中，我们研究了一种用于线性系统降阶观测器设计问题的LMI方法。

系统设定

${\dot {x}}=Ax+Bu$

$y=Cx$

其中$x\in \mathbb {R} ^{n},\ u\in \mathbb {R} ^{r},{\text{ and }}y\in \mathbb {R} ^{m}$分别表示状态向量、输入向量和输出向量。不失一般性，假设秩$(C)=m\leq n$。

在线性系统的降阶状态观测器设计中，以下引理起着基础作用。

引理

给定线性系统，并设$R\in \mathbb {R} ^{(n-m)\times n}$为任意选择的矩阵，使得矩阵

$T={\begin{bmatrix}C\\R\end{bmatrix}}$

非奇异，则

$CT^{-1}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\end{bmatrix}}$.

此外，设

$TAT^{-1}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}$, $A_{11}\in \mathbb {R} ^{m\times m}$,

则矩阵对$(A_{22},A_{12})$可检测当且仅当$(A,C)$可检测。

设

$Tx={\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}$, $TB={\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\end{bmatrix}}$,

则由前三个方程中的关系可知，系统等价于

${\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}\\{\dot {x}}_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}B_{1}\\B_{2}\end{bmatrix}}u$,

$y=x_{1}$

在等效系统中，子状态向量$x_{1}$ 直接等于原始系统的输出$y$。因此，为了重构原始系统状态，我们只需获得子状态向量$x_{2}$的估计值，即${\hat {x}}_{2}$，来自先前的等效系统。一旦获得估计值${\hat {x}}_{2}$，就可以得到$x(t)$（即原始系统状态向量）的估计值，表示为

${\hat {x}}(t)=T^{-1}{\begin{bmatrix}y(t)\\{\hat {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}$.

问题描述

对于等效的连续时间线性系统，设计一个降阶状态观测器，其形式为

${\dot {z}}=Fz+Gy+Hu$

${\hat {x}}_{2}=Mz+Ny$

使得对于任意控制输入$u(t)$，以及任意初始系统值$x1(0),\ x2(0),{\text{ and }}z(0)$，都成立

${\text{lim}}_{t\rightarrow \infty }(x_{2}(t)-{\hat {x}}_{2}(t)=0$.

解/定理

问题有解当且仅当以下两个条件之一成立

1. 存在一个对称正定矩阵P和一个矩阵W满足

$PA_{22}+A_{22}^{T}P+WA_{12}+A_{12}^{T}W^{T}<0$

2. 存在一个对称正定矩阵P满足

$PA_{22}+A_{22}^{T}P-A_{12}A_{12}^{T}<0$

在这种情况下，可以根据问题得到一个降阶状态观测器，其中

$F=A_{22}+LA_{12},\ G=(A_{21}+LA_{11})-(A_{22}+LA_{12})L,$

$H=B_{2}+LB_{1},\ M=I,\ N=-L,$

其中

$L=P^{-1}W$，其中W和$P>0$是第一个不等式条件的可行解对，或者$L=-{\frac {1}{2}}P^{-1}A_{12}^{T}$，其中$P>0$是第二个不等式条件的解。

尚未完善，将添加其他参考文献

外部链接

记录和验证LMI的参考文献列表。

• [1] - 控制系统分析、设计和应用中的LMI