控制中的LMI/pages/Lure系统的稳定性

系统

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=Ax(t)+B_{p}p(t)+B_{w}w(t),\\z(t)&=C_{z}x(t)\\p_{i}(t)&=\phi _{i}(q_{i}(t)),i=1,\dots ,n_{p}\\q&=C_{q}x,\\0&\leq \sigma \phi _{i}(\sigma )\leq \sigma ^{2}\ \forall \sigma \in \mathbb {R} \end{aligned}}$

数据

矩阵 $A,B_{p},B_{w},C_{q},C_{z}$.

LMI：Lure系统的稳定性

以下可行性问题应作为上述Lure系统稳定性的充分条件来解决。

${\begin{aligned}{\text{Find}}\;&P>0,\Lambda =diag(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n_{p}})\succeq 0,T=diag(\tau _{1},\dots ,\tau _{n_{p}})\succeq 0:\\&{\begin{bmatrix}A^{\top }P+PA&PB_{p}+A^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda +C_{q}^{\top }T\\B_{p}^{\top }P+\Lambda C_{q}A+TC_{q}&\Lambda C_{q}B_{p}+B_{p}^{\top }C_{q}^{\top }\Lambda -2T\end{bmatrix}}\prec 0\\\end{aligned}}$

实现

https://codeocean.com/capsule/0232754/tree

结论

如果具有LMI约束的可行性问题有解，则Lure系统是稳定的。

备注

LMI 只是存在 Lur’e Lyapunov 函数的充分条件，该函数证明了 Lur'e 系统的稳定性。当只有一个非线性，即 $n_{p}=1$ 时，它也是必要的。

外部链接

• 最优控制和鲁棒控制中的 LMI 方法 - Matthew Peet 关于控制中 LMIs 的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的 LMI 属性和应用 - Ryan Caverly 和 James Forbes 的 LMI 列表。
• 系统与控制理论中的 LMI - Stephen Boyd 关于 LMI 的可下载书籍。