控制中的LMI/pages/切换系统的D稳定化

切换系统的D稳定控制器

此LMI允许您指定所需的性能指标，例如上升时间、稳定时间和超调百分比。请注意，在稳定系统之间任意切换会导致不稳定，而在单个不稳定系统之间切换可以实现稳定性。

系统

假设我们得到了一个切换系统，使得

${\begin{aligned}{\dot {x}}(t)&=A_{i}x(t)+B_{i}u(t)\\y(t)&=C_{i}x(t)+D_{i}u(t)\end{aligned}}$

其中 $A_{i}\in \mathbb {R} ^{mxm}$, $B_{i}\in \mathbb {R} ^{mxn}$, $C_{i}\in \mathbb {R} ^{pxm}$, 和 $D_{i}\in \mathbb {R} ^{qxn}$ 对于任何 $t\in \mathbb {R}$.

$i\in 1,...,k$ 工作模式

数据

为了正确定义复平面上极点可接受的区域，我们需要以下数据

• 矩阵 $A_{i}$, $B_{i}$
• 上升时间 ($t_{r}$)
• 稳定时间 ($t_{s}$)
• 超调百分比 ($M_{p}$)

拥有这些信息将有助于我们制定优化问题。

优化问题

使用上面给出的数据，我们现在可以定义我们的优化问题。我们首先必须使用以下不等式约束定义复平面上极点可接受的区域

上升时间: $\omega _{n}{\leq }{1.8 \over t_{r}}$

稳定时间: $\sigma {\leq }{-4.6 \over t_{s}}$

超调百分比: $\sigma {\leq }{-ln({M_{p}}) \over {\pi }}|{\omega _{d}}|$

假设 $z$ 是复极点位置，那么

${\begin{aligned}{\omega _{n}}^{2}=\|z\|^{2}&=z^{*}z\\{\omega _{d}}=Im{z}&={(z-z^{*}) \over 2}\\{\sigma }=Re{z}&={(z+z^{*}) \over 2}\end{aligned}}$

这使我们能够修改我们的不等式约束，如下所示

上升时间: $z^{*}z-{1.8^{2} \over {t_{r}}^{2}}{\leq }0$

稳定时间: ${(z+z^{*}) \over 2}+{4.6 \over t_{s}}{\leq }0$

超调百分比: $z-z^{*}+{{\pi } \over ln({M_{p}})}|z+z^{*}|{\leq }0$

这不仅使我们能够映射复极点位置与不等式约束之间的关系，而且现在还使我们能够轻松地为这个问题制定我们的 LMI。

LMI： 二次 D 稳定性 LMI

假设存在 $P>0$ 和 $Z$ 使得

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}-rP&&A_{i}P+B_{i}Z\\(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&-rP\end{bmatrix}}<0\\A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}+2\alpha P&<0,and\\\end{aligned}}$

${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}&&c(A_{i}P+B_{i}Z-(A_{i}P+B_{i}Z)^{T})\\c((A_{i}P+B_{i}Z)^{T}-(A_{i}P+B_{i}Z))&&A_{i}P+B_{i}Z+(A_{i}P+B_{i}Z)^{T}\end{bmatrix}}<0\end{aligned}}$

for $i=1,...,k$

结论

得到的控制器可以通过以下公式恢复

$K=ZP^{-1}$.

实施

该LMI的实施需要Yalmip和Sedumi /MOSEK[1]

外部链接

一系列记录和验证LMI的参考文献。

• 最佳和鲁棒控制中的LMI方法 - Matthew Peet关于控制中LMIs的课程。
• 系统、稳定性和控制理论中的LMI性质和应用 - Ryan Caverly和James Forbes编写的LMI列表。
• 系统与控制理论中的LMI - Stephen Boyd编写的关于LMIs的可下载书籍。