宏观经济学/数学回顾

简介

我们有一个贝尔曼方程，首先我们想知道是否存在一个满足该方程的值函数，其次我们想知道这种解的性质。为了回答这个问题，我们将定义一个映射，它将一个函数映射到另一个函数，而该映射的一个不动点将是一个解。我们讨论的映射是函数集上的映射，这有点抽象。所以今天我们将看看数学回顾。

所以首先我们考虑一个集合，$S\subset \mathbb {R} ^{l}$，对我们来说，它将与描述集合中任意两点之间的某种距离有关。我们将使用度量的概念。

度量

度量是一个函数$\rho :S\times S\to \mathbb {R}$，它具有非负性、$\rho (x,y)\geq 0$、对称性、$\rho (x,y)=\rho (y,x)$，并满足三角不等式，$\rho (x,z)\leq \rho (x,y)+\rho (y,z)$。

一个常见的度量是欧几里得距离，$\rho _{E}(x,y)={\sqrt {\sum _{i=1}^{l}(x_{i}-y_{i})^{2}}}$，另一个是$\rho _{max}(x,y)=\max _{1\leq i\leq l}x_{i}-y_{i}$。

空间

空间，是具有一些一般属性和结构的对象集合

我们可能对度量空间感兴趣，即具有度量空间的，例如，$(S,\rho )$，其中 $S$ 是所有有界有理函数的集合，而 $\rho$ 是某个距离函数。一旦我们有了度量空间，我们就可以讨论收敛性和连续性。

收敛

一个数列，$\{x_{i}\}\subset S$，收敛到$x$，$x_{i}\rightarrow x$，如果$\forall \epsilon >0,\exists N_{\epsilon }$ 使得$\rho (x_{n},y_{n})<\epsilon$ 对所有$n>N_{\epsilon }$ 成立。

柯西序列

一个数列，$\{x_{i}\}\subset S$，被称为柯西序列，如果$\forall \epsilon >0,\exists N_{\epsilon }s.t.\rho (x_{n},y_{m})<\epsilon$ 对所有$n,m>N_{\epsilon }$ 成立。

问题：每个柯西序列都会收敛吗？

完备性

度量空间，$(S,\rho )$ 是完备的，如果每个柯西序列都收敛。

完备性的例子

• $(\mathbb {R} ,\rho _{E})$ 是完备的。
• $((0,1),\rho _{E})$ 不是完备的。证明：令$x_{n}={\frac {1}{n+2}}$，所以$\{x_{n}\}$ 是柯西序列，但它不会收敛到我们集合 $(0,1)$ 中的任何点。
• $([0,1],\rho _{E})$ 是完备的。所有闭集都是完备的吗？完备空间的闭子空间是完备的。
• $(\{0,1,2\},\rho _{E})$ 是完备的。

压缩映射

一个映射$T:S\rightarrow S$ 在度量空间$(S,\rho )$ 上是 **压缩映射**，如果$\exists o\geq \beta <1$ 使得$\rho (tx,Ty)\leq \beta \rho (x,y)\forall x,y\in S$，有时我们写 $T(x)$ 而不是 $TX$，

这意味着我们集合中的任意两点$S$，在映射后，两点之间的距离会缩短。

压缩映射的例子

• $Tx=.9x$ 在$[(0,1],\rho _{E})$ 上是一个压缩映射，

现在我们陈述 **压缩映射定理**。

压缩映射定理

如果$(S,\rho )$ 是完备的并且 $T:s\rightarrow S$ 是压缩映射，那么$\exists !x^{*}$ 使得 $Tx^{*}=x^{*}$，

我们将在后面为一般度量空间证明这个定理。但是，我们必须记住，证明中需要空间是完备的。

现在让我们看看验证映射是否为压缩映射的标准。

压缩映射标准

对于 $S\subset \mathbb {R} ^{l}$ 以及 $\rho =\rho _{E}$，假设 $T:S\rightarrow S$ 满足以下两个条件

• (M, 单调性条件) $\forall x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{l})\in S$ 以及 $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{l})\in S$，并且 $T=(T_{1},T_{2},\ldots ,T_{l}$，如果 $x_{i}\geq y_{i}\Leftrightarrow x\geq y$ 那么 $T_{i}x\geq T_{i}y\Leftrightarrow Tx\geq Ty$，
• (D, 折扣条件) $\forall x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{l})\in S$，对于 ${\underline {\vec {a}}}=(a,a,\ldots ,a)$，$T_{i}(x_{1}+a,x_{2}+a,\ldots ,x_{l}+a)\leq T_{i}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{l})+\beta a\forall i\Leftrightarrow T(x+{\underline {a}})\leq TX+\beta {\underline {a}}$.

那么 $T$ 是一个压缩映射。