宏观经济学/最优增长

最优增长

假设和故事

最优增长的主题通常会提到一个单人经济体，该经济体处理单一商品。例如，鲁滨逊漂流记可能被困在一个只有一个商品的岛屿上，也许是椰子，用$c$表示。在这种情况下，只是为了好玩，我们可能希望鲁滨逊永远活下去，但现在我们可以让他有一个有限的寿命。这个假设改变了我们将如何处理这个问题，有限的寿命本身就适合变分法或哈密顿分析方法，而无限的寿命通常需要递归方法。同样，我们的一种商品是消耗的，并且每天用于“一次性”生产。

模型

在这个模型中，我们有一种商品，$c\in C\subseteq \mathbb {R}$.

我们的代理有一个递增（或至少是非递减）效用函数，$u:C\to \mathbb {R_{+}}$.

经济中的生产函数是非递减的$f:C\to \mathbb {R_{+}}$。出于某种原因，我们使用$k$作为此函数的自变量。我们将在谈论我们的一分钟内的约束条件时看到c和k之间的关系。

鲁滨逊希望在他生活的期间最大化他的效用，但他可能以$\beta$的比率来贴现未来，因此我们可以写出我们的目标函数$\sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})$，其中$c_{t}$是在时间$t$（目前我们正在考虑一个离散时间模型）消费的量。

我们希望我们的解决方案是可行的，因此我们的序列$\{c_{0},c_{1},\ldots \}$必须是“可能的”。为了做到这一点，我们需要该序列满足约束条件，即消耗的$c$加上明天用于生产的$k$必须小于或等于生产的量。我们将以给定的椰子初始禀赋$k_{0}$作为已知条件。所以我们的问题是

$\max \sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(c_{t})$

使得 $0\leq c_{t}+k_{t+1}\leq f(k_{t})$

有限T的解

由于我们的函数f和u是非递减的，我们可以将我们的问题改写为

$\max \sum _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(f(k_{t})-k_{t+1})$

使得 $k_{t+1}\leq f(k_{t})$ 对于 $t=0,1,\ldots ,T-1$

我们可以使用变分法（欧拉方程）或对$k_{t+1}$的拉格朗日函数的一阶条件来解决这个问题，因此我们得到

$u^{\prime }\left(f(k_{t})-k_{t+1}\right)=\beta u^{\prime }\left(f(k_{t+1})-k_{t+2}\right)f^{\prime }(k_{t+1})$ 对于 $t=0,1,\ldots ,T-1$.

给定 $k_{0}$，魏尔斯特拉斯定理保证了这个问题有解，因为目标函数是连续的，约束集是封闭且有界的（因此是紧致的）。但是，如果T趋于无穷大，我们就无法以这种方式保证有解。对此的讨论将在后面进行。

有限T在连续时间上的解

现在，我们不再使用求和，而是可以使用积分来获得一个类似的连续时间问题。

$\max \int _{t=0}^{T}\beta ^{t}u(f(k_{t})-k_{t+1})$

使得 $k_{t+1}\leq f(k_{t})$ 对于 $t=0,1,\ldots ,T-1$

我们可以使用变分法（欧拉方程）来解决这个问题，如果需要也可以使用哈密顿量，我们记得它的形式与拉格朗日函数关于$k_{t+1}$的一阶条件非常相似。使用欧拉方程，我们得到