海洋水动力学/小振幅波理论

简介

真实的波浪极其复杂，但幸运的是，许多观测结果可以用小振幅波理论来解释，该理论做了许多假设，但大大简化了相关数学问题。待解决的问题本质上是一个边界值问题。为了解决这个问题，我们需要找到微分方程和边界条件。首先，我们将问题表述为一个边界值问题。

问题描述

微分方程

我们知道水波是在水体中形成的。我们需要找出这些波的基本特性以及哪些参数控制它们。简而言之，我们需要发展一个水波理论。朝这个目标迈出的第一步是找出在水体自由表面上存在波浪时哪些性质成立。

假设流体是不可压缩的，并且只发生无旋运动。基本流体动力学告诉我们，将存在一个满足连续方程的速度势。因此，以下等式将成立。

$\nabla ^{2}\phi =0$

在三维空间中，这是拉普拉斯方程，写成

${\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z^{2}}}=0$

拉普拉斯方程是线性的，因此任何解都可以线性组合得到更多解。此外，该方程有很多解，但并非所有解都适用于我们的问题。我们将根据边界条件选择我们的解。

底部边界条件

在底部，我们基本上看到必须满足运动学条件。这意味着在任何界面处，都不能有流体穿过界面。流体不能穿过底部。我们需要以方程的形式表达这种限制，以形成底部边界条件。如果我们想象我们相对于表面是固定的，那么水面的全导数将为零，因为我们随水面运动。因此，在任何表面上，

${\frac {DF(x,y,z,t)}{Dt}}=0$

简化这个方程，我们得到的结果是

${\vec {u}}\cdot {\vec {n}}={\frac {\partial F/\partial t}{|\nabla F|}}$ 在底部表面。

现在让我们想象我们有一个由 $z=h(x,y)$ 描述的底部。上述条件公式导致我们得到一个简单的结果

$u{\frac {\partial h}{\partial x}}+v{\frac {\partial h}{\partial y}}+w=0$

自由表面边界条件

就自由表面条件而言，必须满足两个基本条件。首先，运动学条件必须如底部边界条件的推导中所述那样被考虑，然后我们还需要考虑动力学自由表面条件。

运动学自由表面条件

如上所述，运动学条件由以下给出

${\frac {DF(x,y,z,t)}{Dt}}=w$

如果水面由 $z=\eta (x,y,t)$ 定义，则

$w=\left.{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}+v{\frac {\partial \eta }{\partial y}}\right\|_{z=\eta (x,y,t)}$

动态自由表面条件

水面不是固定表面，也不是可以抵抗压力变化的表面。因此，表面上的压力被认为是恒定的，并且以下等式在表面上成立。

$-{\frac {\partial \phi }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}(u^{2}+v^{2}+w^{2})+gz=0$

横向条件

这些条件取决于问题的具体情况。它可能需要对海滩或造波器进行建模。目前，我们将忽略问题的这部分，并进行没有横向限制的分析。我们将在稍后研究一些横向条件。

其他条件

除了上述边界条件外，从问题的物理性质可以看出，解在空间和时间上都必须是周期性的。

解

如果我们寻找的是波浪解，假设表面是 $\eta (x,y,t)=a\cos(kx+ly-\omega t)$。给定这个选择 $\eta$，边界条件表明势能应采用以下形式

$\phi (x,y,z,t)=f(z)\sin(kx+ly-\omega t)$

应用动态自由表面边界条件后，我们得到色散关系

$\omega ^{2}=gk\tanh(kH)$

或者等效地，

$c={\sqrt {g/k\tanh(kH)}}$

特殊情况

浅水极限

深水极限