电子材料/能级填充原理

泡利不相容原理

泡利不相容原理指出，两个费米子（具有半整数自旋的粒子，如电子、质子、中子）不能具有相同的波函数。该原理遵循量子力学中 旋转算符 的定义，其推导超出了本书的范围。更多信息可以在 维基百科页面 上找到。

这对任何维度的量子阱意味着，对于每个量子态，只能存在两个电子 - 一个自旋向下，一个自旋向上。

能级填充原理

能级填充原理，源于德语“Aufbau”意为“构建”，指出阱中的电子倾向于首先占据最低的可用能级，然后再占据更高的能级。在使用更高能级之前，最低能级将同时具有自旋向上和自旋向下的电子。

一维势阱

下图显示了一个被电子填充的一维量子阱。电子用向上箭头表示自旋向上，用向下箭头表示自旋向下。只被一个电子占据的态用黄色表示，被两个电子占据的态用红色表示。

当一个态只有一个电子时，它可以是自旋向上或自旋向下。但是，根据泡利不相容原理，当一个态中有两个电子时，必须有一个自旋向上，一个自旋向下。

二维势阱

当我们有一个二维势阱时，我们可以将所有可能的态绘制在一个二维数组中。这被称为态空间。下图显示了一个包含 39 个电子的量子阱（19 个完全填充的态，一个半填充的态）。

给定态的能量由下式给出：

$E_{n_{x},n_{y}}$	$=\,$	${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {n_{x}\pi }{L}}\right)^{2}+\left({\frac {n_{y}\pi }{L}}\right)^{2}\right]$
	$=\,$	${\frac {\hbar ^{2}\pi ^{2}}{2mL^{2}}}\left(n_{x}^{2}+n_{y}^{2}\right)$

注意，从原点到态空间中态的距离由勾股定理给出：

$d={\sqrt {n_{x}^{2}+n_{y}^{2}}}$

这意味着一个态的能量与态空间中从原点到该态的距离的平方成正比。根据能级填充原理，最靠近原点的态首先被电子填充。

简并和洪特规则

现在，考虑一个方形二维盒中的两个波函数 ψ_1,2 和 ψ_2,1。这两个波函数由下式给出：

$\psi _{n_{x},n_{y}}=\psi _{0}\sin \left({\frac {n_{x}\pi x}{L}}\right)\sin \left({\frac {n_{y}\pi y}{L}}\right)$

下面显示了波函数及其相关的能量。

$z=\psi _{1,2}\,$	$z=\psi _{2,1}\,$
$E_{1,2}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {\pi }{L}}\right)^{2}+\left({\frac {2\pi }{L}}\right)^{2}\right]$	$E_{2,1}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left[\left({\frac {2\pi }{L}}\right)^{2}+\left({\frac {\pi }{L}}\right)^{2}\right]$

我们可以很容易地看出这两个能量是相同的。具有相同能量的波函数被称为 **简并**。当阱被填充时，这两个状态中的任何一个都不会比另一个更优先地获得第一个电子。然而，一旦一个状态有一个电子，一个叫做 **洪特规则** 的原理规定，另一个状态将获得下一个电子，然后再给第一个状态填充第二个电子。因此，在任何时候只有一个状态是半充满的。

三维阱