电子材料/氢原子

氢原子是最简单的原子，包含一个质子和一个电子。

为了确定原子电子的波函数，我们必须用单个质子的库仑势解三维薛定谔波方程

-{\frac {\hbar }{2m}}\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\right)\psi \left(x,y,z\right)+V\left(x,y,z\right)\psi \left(x,y,z\right)=E\psi \left(x,y,z\right)

V\left(x,y,z\right)=V\left(r\right)=-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}

我们将波函数重新表示为球坐标

\psi (x,y,z)=\psi (r,\theta ,\phi )\,

如果没有角依赖性，我们可以简单地解出径向分量r。

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {d^{2}}{dz^{2}}}={\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}

然后氢原子径向解的薛定谔方程为

-{\frac {\hbar }{2m}}\left({\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d}{dr}}\right)\psi \left(r\right)-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}\psi \left(r\right)=E\psi \left(r\right)

基态

对于最低能量状态，可以用以下试探解解该微分方程

\psi (r)=\psi _{0}e^{-ar}\,

代入后，我们得到

-{\frac {\hbar }{2m}}\left(a^{2}e^{-ar}-{\frac {2ae^{-ar}}{r}}\right)-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}e^{-ar}=Ee^{-ar}

-{\frac {\hbar }{2m}}\left(a^{2}-{\frac {2a}{r}}\right)-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r}}=E

r⁰ 和 r⁻¹ 的系数必须分别满足

-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}=E

-{\frac {\hbar ^{2}a}{m}}-{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}}}=0

因此，我们获得了 a 和 E 的值

a={\frac {e^{2}m}{4\pi \hbar ^{2}\epsilon _{0}}}\approx {\frac {1}{0.05{\mbox{ nm}}}}

E=-{\frac {me^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\approx 13.8{\mbox{ eV}}

高能级具有更复杂的波函数

\psi _{n}(r)=\psi _{0}e^{-a_{n}r}L_{n}(r)\,

其中 L_n(r) 是拉盖尔多项式的 n 阶。这里不重要如何得出这个结果——更详细的解释，请参考量子力学维基教科书。相关的能量为

E_{n}=-{\frac {me^{2}}{32n^{2}\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\approx -{\frac {13.6}{n^{2}}}{\mbox{ eV}},\quad \quad n=1,2,3,\ldots

当 n 增大时，能级越来越接近，能量接近零。n = ∞ 对应于真空能级，此时电子脱离质子。电子可以通过吸收（向上移动）或发射（向下移动）正确的能量在这些能级之间移动。

对于每个 n，都存在一个球形解，其中波函数与角度无关。这些球形轨道被称为 s 轨道。

波函数的完整解具有四个量子数

\psi _{n,l,m,s}(r,\theta ,\phi ),\quad l=0,1,\ldots ,n-1,\quad m=-l,\ldots ,+l,\quad s=-{\frac {1}{2}},+{\frac {1}{2}}

例如，当 n = 2 且 l = 1 时，存在三个解，对应于 m = −1,0,1。这些被称为 p 轨道。最多六个电子可以占据 p 轨道——每个解两个，一个自旋向上，一个自旋向下。