非技术人员的数学/概述：收敛准则

级数收敛和发散的决策树

我们已经介绍了级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 作为部分和 $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ 的序列。如果部分和序列收敛，则序列收敛。否则，该级数发散。假设级数收敛，我们定义级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 的无穷和的值等于该序列的极限。

在本章中，我们将研究不同的准则或检验，以确定级数是否收敛。在接下来的章节中，我们将更深入地研究每个准则，并为每个准则提供证明。

收敛准则

我们将在每个准则的主条目中为以下命题提供证明。给定级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$。有许多准则可以用来检查收敛性

绝对收敛

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定理 (绝对收敛)

如果级数绝对收敛，那么它也收敛。因此，如果 $\sum _{k=1}^{\infty }|a_{k}|$ 收敛，那么 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也收敛。

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柯西准则

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定理 (柯西准则)

对于所有 $\varepsilon >0$，存在 $N\in \mathbb {N}$，使得 $\left|\sum _{k=m}^{n}a_{k}\right|<\varepsilon$ 对于所有 $n\geq m\geq N$。那么该级数收敛。

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莱布尼茨准则

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定理 (莱布尼茨准则)

如果级数的形式为 $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}b_{k}$，并且如果序列 $(b_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 是非负单调递减的零序列，那么该级数是收敛的。

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支配判别法

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定理 (支配判别法)

设 $|a_{k}|\leq b_{k}$ 对所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果 $\sum _{k=1}^{\infty }b_{k}$ 是收敛的，那么级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是绝对收敛的。

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比值判别法

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定理 (比值判别法)

设 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是一个级数，其中 $a_{k}\neq 0$ 对所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果存在一个 $\theta <1$ 和一个 $N\in \mathbb {N}$，使得 $\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|\leq \theta$ 对所有 $k\geq N$ 成立，那么级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是绝对收敛的。特别是，如果 $\lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$ 或 $\limsup _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|<1$。

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根值判别法

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定理 (根式判别法)

如果 $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$，则级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是绝对收敛的。特别是，如果 $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}<1$，则结论也成立。

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柯西浓缩判别法

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定理 (柯西浓缩判别法)

设 $(a_{k})_{k\geq 1}$ 是一个单调递减的实值零序列，并且 $a_{k}\geq 0$ 对所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果 $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}$ 是收敛的，那么 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也是收敛的。

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积分判别法

定理 (积分判别法)

设 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$，即 $a_{k}=f(k)$ 对于函数 $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$ 成立。如果 $f$ 在定义域 $[1,\infty )$ 上是一个单调递减的非负值函数，并且如果 $\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x<\infty$，那么该级数是绝对收敛的。

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发散判据

给定一个级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$。为了证明这个级数是发散的，有许多判别准则。

项测试

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定理 (项测试)

如果 $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 发散或 $\lim _{k\to \infty }a_{k}\neq 0$，则该级数发散。

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柯西判别法

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定理 (柯西判别法)

如果存在一个 $\epsilon >0$，使得对于任意 $N\in \mathbb {N}$，都存在自然数 ${\tilde {n}}\geq {\tilde {m}}\geq N$ 使得 $\left|\sum _{k={\tilde {m}}}^{\tilde {n}}a_{k}\right|\geq \epsilon$，则该级数发散。

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下界判别法

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定理 (下界判别法)

令 $a_{k}\geq c_{k}\geq 0$ 对几乎所有 $k\in \mathbb {N}$ 成立。如果 $\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}$ 发散，那么级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也发散。

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比值判别法

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定理 (比值判别法发散准则)

如果对于几乎所有 $k\geq N$（即对于固定 $K\in \mathbb {N}$ 的所有 $k\geq K$），则级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 发散。特别地，当 $\lim _{k\to \infty }\left|{\tfrac {a_{k+1}}{a_{k}}}\right|>1$ 时，情况也是如此。

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根式判别法

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定理 (根式判别法)

如果 $\limsup _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$，则级数 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 是绝对发散的。特别地，当 $\lim _{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{|a_{k}|}}>1$ 时，情况也是如此。

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柯西浓缩判别法

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定理 (柯西浓缩判别法)

令 $(a_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ 是一个单调递减的实值零序列，对于所有 $k\in \mathbb {N}$，有 $a_{k}\geq 0$。如果 $\sum _{l=0}^{\infty }2^{l}a_{2^{l}}$ 发散，则 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 也发散。

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积分判别法

定理 (积分判别法)

令 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}=\sum _{k=1}^{\infty }f(k)$，因此 $a_{k}=f(k)$，对于函数 $f:[1,\infty )\to \mathbb {R}$。如果 $f$ 在 $[1,\infty )$ 上是一个单调递减的非负函数，并且如果 $\int _{1}^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\infty$，则该级数发散。

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收敛与起始索引无关

在关于柯西判定的部分，我们看到起始索引与收敛性的研究无关。如果我们有一个形式为 $\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}$ 的级数，我们也可以考虑级数 $\sum _{k=10}^{\infty }a_{k}$ 或 $\sum _{k=4223}^{\infty }a_{k}$。唯一的区别是起始索引 $k$。这些级数都具有相同的收敛性。因此请记住

如果我们移除或改变有限多个求和项，级数的个体值当然会发生变化，但收敛性保持不变。这一事实很有用，你应该时刻牢记它。在那些你不关心级数的精确值，而只关心它是否收敛的情况下，这会很有用。

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