非极客数学/什么是分析？

什么是分析？

大学数学中通常要上的第一个高级课程是分析和线性代数（线性代数是代数领域的一部分）。分析和代数都是现代数学的基础，它们本身都是建立在集合论之上的。为了从正确的方向开始学习数学，重要的是未来的学生在这些领域都得到很好的训练并感到舒适。因此，在本项目中，我们将把大部分时间和精力集中在分析和代数上。但是这两个课程讲的是什么呢？从事分析和代数领域研究的数学家做什么？他们试图回答什么问题？在全面回答这个问题之前，最好先简要介绍一下每个领域的研究内容。

代数，或者更确切地说一个代数，是一种类似于有理数或实数的“数字空间”。在一个代数中，元素可以相加和相乘。因此，代数在很大程度上也处理从加法和乘法中产生的变换和运算，例如平方根函数，它是从求解二次函数的逆函数得来的，二次函数是一种乘法运算。在代数领域，人们经常想要回答关于如何变换方程以获得解的问题，以及一个方程是否真的有解。总的来说，代数处理的是方程，而很少处理不等式。

在线性代数中，我们只处理一阶（或线性阶）方程，这意味着方程中的所有变量或元素的次数最多为一。线性代数中的一个经典问题是，以下形式的方程组是否有解，如果有，解是什么

${\begin{array}{ccccccccccc}a_{11}\cdot x_{1}&+&a_{12}\cdot x_{2}&+&a_{13}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{1n}\cdot x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}\cdot x_{1}&+&a_{22}\cdot x_{2}&+&a_{23}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{2n}\cdot x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}\cdot x_{1}&+&a_{m2}\cdot x_{2}&+&a_{m3}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{mn}\cdot x_{n}&=&b_{m}\end{array}}$

注意，上述方程中的所有$x_{i}$ 的次数都是一（这意味着它们都是“一次方”的变量）。

另一方面，分析处理的是函数的连续性、极限和微积分（计算导数和积分）。例如，如果我们考虑函数

$f\ :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}-9}},$

试图找到它的根将是一个代数目标。但是，如果我们感兴趣的是描述函数在其极点附近的行为，或者当$x\rightarrow \pm \infty$ 时函数的行为，这将是一个分析目标。类似地，研究函数的斜率或曲率也将是分析的。

分析领域中的另一个问题是，是否存在这样的函数：它们不连续，但其图形中从未出现“跳跃点”（这个问题的答案是“是”。此外，我们可以问，一个可微函数是否可以有不可微的导数（这个问题的答案也是“是”）或者它的导数是否可以表现出上述的“跳跃点”（在这种情况下，问题的答案是“否”。从最后一条断言中，我们可以得出结论，具有跳跃点的函数永远不可能是另一个函数的导数。然而，这个函数可能是可积的。计算这样一个函数的积分也将是分析的目标。

分析为我们提供了描述函数在任何给定点上如何变化的概念。这些概念在自然科学中很有用，可以用来生成自然规律或科学模型的公式。这也是为什么分析在自然科学中如此重要的工具。分析数学家研究的是如何预测系统变化，以及如何精确地指定这些预测。

在粗略地概述了数学的基础之后，我们现在知道在学习分析和代数时会遇到什么。数学家通常更偏向于某一方面——他们要么更像一个分析数学家，要么更像一个代数数学家。然而，实际上，每个领域都无法在不涉及另一个领域的情况下完全被研究。这两个领域同样有趣、广泛且重要。但是，在本项目中，我们将主要关注分析。