非极客数学/什么是分析？

什么是分析？

大学数学中通常首先接触的高级课程是《分析》和《线性代数》（线性代数是《代数》领域的一部分）。分析和代数都为现代数学奠定了基础，它们本身都是建立在集合论的基础上的。为了从一开始就正确地学习数学，未来学生必须在这两个领域得到良好的训练并感到舒适。因此，我们将在这两个项目中投入大部分时间和精力，重点关注分析和代数。但这两种课程是关于什么的呢？从事分析和代数领域的数学家做些什么呢？他们试图回答什么问题呢？在我们完全详细地回答这个问题之前，最好先给出每个领域研究内容的一个小例子。

代数，或者更确切地说是“一种代数”，是一种类似于有理数或实数的“数空间”。在代数中，元素可以相加和相乘。因此，代数在很大程度上也处理由加法和乘法产生的变换和运算，例如平方根函数，它源于寻找二次函数的逆函数，这是一种乘法。在代数领域，人们通常想知道如何变换方程以得到解，以及方程是否有解。一般来说，代数处理的是“方程”，很少处理不等式。

在《线性代数》中，我们只处理“一阶”（或“线性阶”）方程，这意味着方程中所有变量或元素的次数最多为一。线性代数中的一个经典问题是，以下形式的方程组是否有解，如果有，解是什么

${\begin{array}{ccccccccccc}a_{11}\cdot x_{1}&+&a_{12}\cdot x_{2}&+&a_{13}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{1n}\cdot x_{n}&=&b_{1}\\a_{21}\cdot x_{1}&+&a_{22}\cdot x_{2}&+&a_{23}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{2n}\cdot x_{n}&=&b_{2}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}\cdot x_{1}&+&a_{m2}\cdot x_{2}&+&a_{m3}\cdot x_{3}&+&\ldots &+&a_{mn}\cdot x_{n}&=&b_{m}\end{array}}$

注意，上式中所有 $x_{i}$ 的次数都是一（这意味着它们都是“一次方”的变量）。

另一方面，《分析》处理的是函数的连续性、极限和微积分（计算导数和积分）。例如，如果我们考虑函数

$f\ :\ \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,x\mapsto f(x)={\frac {x^{2}-x+1}{x^{2}-9}},$

尝试找到它的根将是一个代数目标。但是，如果我们感兴趣的是描述函数在极点附近的行为，或者当 $x\rightarrow \pm \infty$ 时的行为，这将是一个分析目标。类似地，研究函数的斜率或曲率也将是分析的。

分析领域中另一个问题是，是否存在函数，它们不连续，但其图形中永远没有“跳跃点”（这个问题的答案是“是”）。此外，我们可以问，可微函数是否可以有间断导数（这个问题的答案也是“是”），或者其导数是否可以表现出上述“跳跃点”中的一个（在这种情况下，答案是“否”）。从最后一条断言，我们可以得出结论，具有跳跃点的函数永远不可能是另一个函数的导数。但是，该函数可能是可积的。计算此类函数的积分也是分析的目标。

分析为我们提供了描述函数在任何给定点如何变化的概念。这些概念在自然科学中很有用，可以用来生成自然规律或科学模型的公式。这也是分析在自然科学中如此重要的工具的原因。分析数学家研究如何预测系统变化，以及如何准确地指定这些预测。

鉴于对数学基础的这种粗略概述，我们现在知道在学习分析和代数时会期待什么。数学家通常更喜欢其中一方 - 他们要么是更多分析数学家，要么是更多代数数学家。然而，实际上，每个领域都无法真正完全独立地研究，而无需涉及另一个领域。这两个领域都同样有趣，广阔且重要。但是，在本项目中，我们将主要关注分析。