化学数学/复数

复数简介

方程

$x^{2}+6x+13=0$

无法分解

$x=-3\pm {\sqrt {9-13}}$

${\sqrt {-4}}$ 在没有复数的情况下不存在。然而，数字 $i={\sqrt {-1}}$ 在代数中表现得和其他任何数字一样，没有任何异常，这使我们能够解决这个问题。

解是$-3\pm 2i$.

$2i$ 是一个虚数。 $-3-2i$ 是一个复数。

两个复数$(a,b)=a+ib$ 通过$(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)$ $=a+c+i(b+d)$ 相加。

减法显而易见：$(a,b)-(c,d)=(a-c,b-d)$.

$(a,b).(c,d)=ac+i(ad+bc)-bd$

除法可以作为练习来完成。它需要$(c+id)(c-id)$ 作为公分母。这是$c^{2}-(id)^{2}$（两个平方差），并且是$c^{2}+d^{2}$.

这意味着

${\frac {(a,b)}{(c,d)}}={\frac {ac+bd+i(cb-ad)}{c^{2}+d^{2}}}$

在实际应用中，复数可以简化磁性和角动量的数学运算，同时完善了数字系统。

笛卡尔$x-y$平面与复数$x+iy$之间存在明显的对应关系。这被称为阿根图。然而，这种对应关系是虚幻的，例如，当你将$i$的平方根提高到一系列递增的幂次时。它不会变得更大，而是绕着原点旋转。这并非普通数字的性质，而是复数平面上行为的基本特征之一。

在同一个阿根图上绘制$2-i,~~~~3i-1,~~~~-2-2i$

求解

$x^{2}+4x+29=0$

$4x^{2}-12x+25=0$

$x^{2}+2ix+1=0$

(答案 -2 正负 5i, 3/2 正负 2i, i(-1 正负 根号 2)

两个重要的方程需要熟悉，欧拉公式

$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

和棣莫弗定理

${(\cos \theta +i\sin \theta )}^{n}=\cos n\theta +i\sin n\theta$

从$e^{i\theta }$的麦克劳林展开式可以明显看出欧拉公式。

为了找到$i$的平方根，我们使用棣莫弗定理。

$e^{i{\frac {\pi }{2}}}=0+1i$

所以棣莫弗定理得出${\sqrt {e^{i{\frac {\pi }{2}}}}}=\cos {\frac {\pi }{2.2}}+i\sin {\frac {\pi }{2.2}}$

$={\frac {1}{\sqrt {2}}}+{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

通过平方来验证，得到$i$.

另一个根来自

${\frac {5\pi }{4}}+i\sin {\frac {5\pi }{4}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}i$

可以使用棣莫弗定理找到单位根的 _三个_ 立方根，方法如下：

$1=\cos \theta +i\sin \theta$

其中 $\theta$ 可以是 $0\pm 2\pi /n$.

令 $n=1/3$，$\cos \theta =-1/2$ 且 $\sin \theta =\pm {\sqrt {3}}/2$

${\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}^{3}=\left({\frac {1}{4}}-{\frac {3}{4}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)$

$=\left(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i\right)$

这是两个平方差，所以

${\left({\frac {1}{2}}\right)}^{2}-{\frac {3}{4}}i^{2}~~=~~~{\frac {1}{4}}+{\frac {3}{4}}$

类似地，可以使用这种方法得到任何包含 $n$ 个 1 的 n 次方根的表达式。

另一个例子是，在不展开 $\cos(2\theta +2\theta )$ 的情况下，得到 $\cos 4\theta$ 和 $\sin 4\theta$ 的表达式。

$\cos 4\theta +i\sin 4\theta ={(\cos \theta +i\sin \theta )}^{4}$

记住帕斯卡三角形

                          1
                      1   2   1
                    1   3   3   1
                  1   4   6   4   1
                1   5   10  10  5   1
              1   6   15  20  15  6   1

$=\cos ^{4}\theta +4\cos ^{3}\theta i\sin \theta +6\cos ^{2}\theta i^{2}\sin ^{2}\theta +4\cos \theta i^{3}\sin ^{3}\theta +i^{4}\sin ^{4}\theta$

$=\cos ^{4}\theta -6\cos ^{2}\theta \sin ^{2}\theta +\sin ^{4}\theta +i(4\cos ^{3}\theta \sin \theta -4\cos \theta \sin ^{3}\theta )$

分离实部和虚部 得到两个表达式。这比

$\cos(2\theta +2\theta )$

使用相同的步骤得到

$\cos 6\theta$ 和 $\sin 6\theta$.