化学数学/微分

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在数学导师有一个关于微分的 DVD。

基本多项式

最基本的微分类型是

$f(x)=x^{n}$

$f^{'}(x)=nx^{n-1}$

有两个简单的规则

函数乘以常数的导数只是常数乘以导数。
函数之和的导数只是两个导数之和。

要获得更高的导数，例如二阶导数，只需不断应用相同的规则。

微分的一个重要用途是找到函数的驻点，即最大值和最小值。如果函数是光滑的（不像锯齿状），可以通过求解一阶导数为零的方程来轻松找到这些点。

链式法则

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dw}}.{\frac {dw}{dx}}$

这最好用例子来解释：已知 $y={(x^{4}+1)}^{9}$ ，求 ${\frac {dy}{dx}}$

令 $y=u^{9}$ 且 $u=x^{4}+1$ .

现在 ${\frac {dy}{du}}=9u^{8}$ 且 ${\frac {du}{dx}}=4x^{3}$

因此，根据链式法则，我们有 $9{(x^{4}+1)}^{8}.4x^{3}=36x^{3}{(x^{4}+1)}^{8}$

微分乘积

${\frac {d(u.v)}{dx}}=v{\frac {du}{dx}}+u{\frac {dv}{dx}}$

注意，对乘积进行微分时会产生两个项。（项是由加号或减号连接的数学表达式。）一个重要点是，表示物理量的项必须具有相同的单位和量纲，或者必须是纯粹的无量纲数。你不能把 3 个橙子和 2 个梨加起来得到 5 个橙梨。

对商进行微分

你可以用它来微分 $\tan$ 。

${\frac {d}{dx}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {v{\frac {du}{dx}}-u{\frac {dv}{dx}}}{v^{2}}}$

问题

关于 $x$ 求导

$3x^{2}-x(1+x)(1-x)$

注意我们有 $(a^{2}-b^{2})$ 。 $4x^{7}-3x^{2}$

${(3x+2)}2+e^{x}$

$8x^{6}-12{\sqrt {x}}$

$x{(x+3)}2$

$x^{2}(3x-(2+x)(2-x))$

首先计算内层括号。

计算

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(e^{z}-{\frac {z^{9}}{18}}-{\frac {3}{z^{2}}}\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}c}}\left({\sqrt {c^{5}}}\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\omega }}\left({\frac {1}{\omega }}-{\frac {1}{\omega ^{2}}}-{\frac {1}{\omega ^{3}}}\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\phi }}\left(e^{\phi }-\left({\frac {1}{\phi ^{2}}}+{\frac {3}{2}}\phi ^{2}\right)\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}r}}\left(e^{5r}-\left({\frac {a}{r^{3}}}+{\frac {b}{r^{6}}}+{\frac {c}{r^{9}}}\right)\right)$

a, b 和 c 是常数。对 $r$ 求导。

$3re^{-3r}$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\left(x^{6}e^{x}\right)$

答案

$3x^{2}+6x-1$

$28x^{6}-6x$

$e^{x}+18x+12$

$48x^{5}-{\frac {6}{\sqrt {x}}}$

$3x^{2}+12x+9$

$4x^{3}+9x^{2}-8x$

$e^{z}+{\frac {z^{8}}{2}}+{\frac {6}{z^{3}}}$

${\frac {5}{2}}c^{3/2}{\rm {or}}{\frac {5}{2}}{\sqrt {c^{3}}}$

$-{\frac {1}{\omega ^{2}}}+{\frac {2}{\omega ^{3}}}+{\frac {3}{\omega ^{4}}}$

$e^{\phi }+{\frac {2}{\phi ^{3}}}-3\phi$

$5e^{5r}+{\frac {3a}{r^{4}}}+{\frac {6b}{r^{7}}}+{\frac {9c}{r^{10}}}$

$e^{-3r}(3-9r)$

$x^{5}e^{x}(x+6)$

更难的求导问题

关于 $x$ 求导

$x^{4}{(x+9)}^{5}$

$5x^{2}{(x^{2}-7x+9)}^{5}$

对 $r$ 求导

${(r^{2}+3r-1)}^{3}e^{-4r}$

对 $\omega$ 求导

${\frac {1}{{\omega }^{4}}}\left({{\omega }^{2}-3\omega -19}\right)$

${\frac {e^{\omega }}{{\omega }^{4}}}$

计算

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\left(e^{-4z}\left({z-1}^{2}\right)\right)$

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}\phi }}\left(\phi ^{2}e^{-2\phi }\left(1-{\frac {1}{{\phi }^{2}}}\right)\right)$

使用微分来检查转折点

${\frac {dy}{dx}}$ 是切线或梯度。在最小值处 ${\frac {dy}{dx}}$ 为零。这在最大值或拐点处也成立。第二个梯度告诉我们点的性质。如果 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 为正，则转折点为最小值，如果为负，则为最大值。在大多数情况下，我们感兴趣的是最小值，但在过渡态理论中除外。

如果 $y=x^{3}$ 的方程被绘制出来，可以看出在 $x=0$ 处存在第三种点，即拐点，在那里 ${\frac {dy}{dx}}$ 和 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 都为零。

$y=f(x){\frac {dy}{dx}}=f^{'}(x){\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=f^{''}(x)$

在 -4 到 +3 之间，以 1 为单位绘制 $x^{3}+x^{2}-6x$ 的图形。（先将方程分解因式会加快绘图速度，然后你会发现有 3 个地方 $f(x)=0$ ，所以你只需要计算 5 个点。）通过分解因式，你可以看到该方程有 3 个根。找到 2 个拐点。（求一次导数，并使用 $x=-b\dots$ 公式找到二次方程的根。这将给出零两侧 2 个拐点的坐标。由于方程只有 $x^{3}$ ，所以它最多有 3 个根和 2 个极值点，因此我们已经解决了所有问题。再次对你的二次方程求导，得到 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$ 。注意，零左侧的拐点是极大值，即 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=-ve$ ，另一个是极小值，即 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=+ve$ 。