在数学导师有一个关于微分的 DVD。
最基本的微分类型是
有两个简单的规则
- 函数乘以常数的导数只是常数乘以导数。
- 函数之和的导数只是两个导数之和。
要获得更高的导数,例如二阶导数,只需不断应用相同的规则。
微分的一个重要用途是找到函数的驻点,即最大值和最小值。如果函数是光滑的(不像锯齿状),可以通过求解一阶导数为零的方程来轻松找到这些点。
这最好用例子来解释:已知
,求 
令
且
.
现在
且 
因此,根据链式法则,我们有 
注意,对乘积进行微分时会产生两个项。(项是由加号或减号连接的数学表达式。)一个重要点是,表示物理量的项必须具有相同的单位和量纲,或者必须是纯粹的无量纲数。你不能把 3 个橙子和 2 个梨加起来得到 5 个橙梨。
你可以用它来微分
。
关于
求导
注意我们有
。 
首先计算内层括号。
计算
a, b 和 c 是常数。对
求导。
关于
求导
对
求导
对
求导
计算
是切线或梯度。在最小值处
为零。这在最大值或拐点处也成立。第二个梯度告诉我们点的性质。如果
为正,则转折点为最小值,如果为负,则为最大值。在大多数情况下,我们感兴趣的是最小值,但在过渡态理论中除外。
如果
的方程被绘制出来,可以看出在
处存在第三种点,即拐点,在那里
和
都为零。
在 -4 到 +3 之间,以 1 为单位绘制
的图形。(先将方程分解因式会加快绘图速度,然后你会发现有 3 个地方
,所以你只需要计算 5 个点。)通过分解因式,你可以看到该方程有 3 个根。找到 2 个拐点。(求一次导数,并使用
公式找到二次方程的根。这将给出零两侧 2 个拐点的坐标。由于方程只有
,所以它最多有 3 个根和 2 个极值点,因此我们已经解决了所有问题。再次对你的二次方程求导,得到
。注意,零左侧的拐点是极大值,即
,另一个是极小值,即
。
的解和拐点是什么?
通过分解因式求解
。
(3 个根是 -3、0 和 +2。 
解是
和
,即 -1.7863 和 1.1196。
在
,
处有三个重合的解,因此这是一个拐点。
根为 0、1 和 -1。