化学数学/积分

来自 HEFCE 的免费网络材料

在 数学辅导 上有一个关于积分的 DVD。

基本多项式

$f(x)=x^{n}$

$\int {f(x)}dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+c$

这对于除 -1 之外的所有幂都适用，例如，积分

${\frac {1}{x^{7}}}$

只是

$-{\frac {1}{6x^{6}}}+c$

-1 显然是一个特殊情况，因为它涉及到 $x=0$ 时的无穷，并且随着 $x$ 变小而变为一个陡峭的尖峰。正如您之前所学，这个积分是 $x$ 的 自然对数，而无穷大是存在的，因为零的对数是负无穷大，而负数的对数是未定义的。

正负次幂的积分和微分

   >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>Differentiation

   1/3 x*x*x  x*x       2x        2         0        0       0       0

   1/3 x*x*x  x*x       2x        2         ?        ?       ?       ?

   Integration<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

   I(x)        H(x)     G(x)      F(x)      ln(x)   1/x    -1/(x*x)

这里，I、H、G 和 F 是涉及 $\ln x$ 的更复杂函数。

当您进行更多积分时，您将能够轻松地计算出它们。需要注意的是，负次幂和正次幂的微积分并不对称，这本质上是由 ${\frac {1}{x^{n}}}$ 在 $x=0$ 处的极点或奇点造成的。

对数

对数 是由 17 世纪的苏格兰地主纳皮尔发明的。他发明了许多东西，但他最持久的成就源于需要进行天文计算中使用的许多长除法和三角函数计算。皇家海军在后来的几年里投入了大量的时间和金钱来发展对数技术以用于航海目的，这导致了第一个机械存储程序计算机的委托，该计算机在理论上是合理的，但无法由 查尔斯·巴贝奇 在 1833 年至 1871 年间制造。

该系统的核心是幂的性质的观察

${\frac {e^{a}}{e^{b}}}=e^{a-b}$

这意味着如果我们有 $e^{x}$ 的逆函数，我们可以通过查阅表格中的指数来将长除法转化为减法。在计算器出现之前，这是许多计算的方式。

$y=e^{x}$

$\ln y=x$

奈皮尔最初在他的计算中使用以 $e$ 为底的对数，但大约一年后，他被布里格斯拜访，布里格斯建议使用以 10 为底的对数更实用。但是，以 $e$ 为底的对数对于微积分和热力学来说是必要的。

积分 1/x

$x=e^{y}~~~~~~~~~{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}=e^{y}~~~~~{\rm {also}}=x$

这是因为 $e^{y}$ 是我们的函数，它以自身的量为速率减小或增长。

$y=\ln x$

这是我们对对数的定义。

${\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}={\frac {1}{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}}~~~~~~{\rm {also}}=x$

所以

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}={\frac {1}{x}}$

$\int {\frac {dy}{dx}}dx=y$

所以

$\int {\frac {1}{x}}dx=\ln x$

积分类似 1/x 的函数

就像

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln x={\frac {1}{x}}$

所以

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln u={\frac {1}{u}}{\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}x}}$

因此，根据*链式法则*

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln f(x)={\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}$

所以

$\int {\frac {f^{'}(x)}{f(x)}}{\rm {d}}x=\ln |f(x)|+c$

以下是一些示例：

$\int {\frac {\cos \phi }{1+\sin \phi }}{\rm {d}}\phi =\ln(1+\sin \phi )+c$

或者

$\int {\frac {\sin \phi }{1+\cos \phi }}{\rm {d}}\phi =-\ln(1+\cos \phi )+c$

以及

$\int {\frac {e^{y}}{e^{y}+2}}{\rm {d}}y=\ln(e^{y}+2)+c$

由于 $1/x$ 的积分是 $\ln$，因此 $\ln$ 的微分是 $1/x$，因此

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln 5x^{3}=\ln 5+\ln x^{3}=\ln 5+3\ln x$

$\ln 5$ 只是一个常数，所以 ${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}=0$，因此

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln 5x^{3}={\frac {3}{x}}$

这也可以通过链式法则来完成

${\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}x}}\ln 5x^{3}={\frac {1}{5x^{3}}}.{\frac {{\rm {d}}(5x^{3})}{{\rm {d}}x}}={\frac {15x^{2}}{5x^{3}}}={\frac {3}{x}}$

有趣的是，5 消失了。对数函数的梯度不受乘数的影响！这是对数的基本性质。

关于无穷大的一些观察

显然 ${\frac {1}{0}}$ 是 $\infty$.

${\frac {0}{0}}$ 和 ${\frac {\infty }{\infty }}$ 是未定义的，但有时一个大数除以一个大数可以有定义的值。例如，$\sin$ 90 度，你会记得它是大对边除以大斜边，但在无限薄三角形的极限情况下，它们变得相等。因此，$\sin$ 为 1。

定积分（极限）

记住我们如何做定积分

$\int _{0}^{3}{(f(x))}={\left[F(x)\right]}_{0}^{3}=F(3)-F(0)$

其中 $F$ 是 $f$ 的不定积分。

这里有一个使用极限来计算四次方程切割出的 3 个面积的例子

$x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x$.

我们看到 $x=1$ 是一个解，所以我们可以做多项式除法

        x3  -x2 -2x
      -------------------
 x-1  ) x4 -2x3 -x2 +2x
        x4  -x3
       --------
            -x3 -x2
            -x3 +x2
            -------
                -2x2 +2x
                -2x2 +2x
                --------
                     0

因此方程为 $x(x^{2}-x-2)(x-1)$，它分解为

$x(x-2)(x+1)(x-1)$.

$\int _{a}^{b}{x^{4}-2x^{3}-x^{2}+2x}={\left[x^{5}/5-x^{4}/2-x^{3}/3+x^{2}\right]}_{a}^{b}$

用换元法进行积分

$\int \sin \theta \cos \theta {\rm {d}}\theta =\int u{\frac {{\rm {d}}u}{{\rm {d}}\theta }}{\rm {d}}\theta$

其中 $u=\sin \theta$.

$\int \sin \theta \cos \theta {\rm {d}}\theta ={\frac {\sin ^{2}\theta }{2}}+c$

$\int \sin ^{9}\theta \cos \theta {\rm {d}}\theta ~~~~~~~{\rm {similarly}}~~~~~~~~={\frac {\sin ^{10}\theta }{10}}+c$

三角函数和指数函数的简单积分

$\int {4e^{2x}}dx$

$\int {-9e^{-3x}}dx$

$\int {\sin 2\theta }d\theta$

$\int {\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta }d\theta$

$\int {-\cos \phi }d\phi$

答案

$2e^{2x}+c$

$3e^{-3x}+c$

$-{\frac {1}{2}}\cos 2\theta +c$

$\theta +c$

即 $1d\theta$ 的积分。

$\sin \phi +c$

分部积分

这在很多教科书和维基百科中都有介绍。它们的符号可能与这里使用的符号不同，这里希望使用的符号是最清晰的。您可以通过对乘积法则进行积分来推导出该表达式。然后，您可以将其中一个 $UV^{'}$ 变成一个乘积本身来得到这个表达式。

$\int {UV}=U\int {V}-\int {\left(U^{'}\int {V}\right)}$

(所有积分都是关于 $x$ 的。请记住，根据

$\int {UV}=U[{\rm {int}}]-\int {[{\rm {diff}}][{\rm {int}}]}$

($U$ 被求导数)。

重要的是，您必须对乘积的一个表达式求积分，并对另一个表达式求导数。在基本方案中，您对最复杂的表达式求积分，并对最简单的表达式求导数。每次执行此操作时，您都会生成一个新的项，但被求导数的函数会变为零，并且积分会得到解决。变为零的表达式是 $U$。

另一个常见的方案是，分部公式会在等号右侧生成您想要的表达式，并且没有其他积分符号。然后，您可以重新排列等式，并解决积分。这对于三角函数非常有用，其中 $\sin \rightarrow \cos \rightarrow -\sin \rightarrow -\cos \rightarrow sin$ 无限循环。

$e^{x}$ 也会生成自身，并且可以进行相同的处理。

$\int {e^{-x}\sin x}~dx=(-e^{-x})\sin x-\int {(-e^{-x})\cos x}~dx$

$=-e^{-x}\sin x+\int {e^{-x}\cos x}~dx$

$=-e^{-x}(\sin x+\cos x)-\int {e^{-x}\sin x}~dx+c$

现在，我们在等式的两边都有所需的积分，所以

$=-{\frac {1}{2}}e^{-x}(\sin x+\cos x)+c$

积分问题

使用分部积分法，分别对以下函数进行积分

$xe^{x}$

$x^{2}\sin x$

$x\cos x$

$x^{2}e^{x}$

$x^{2}\ln x$

$e^{x}\sin x$

$e^{2x}\cos x$

$x{(1+x)}^{7}$

实际上，可以使用分部积分法对该函数进行积分，得到一个两项式表达式。计算这个积分。使用帕斯卡三角形展开原始被积函数，得到

         2       3       4       5       6      7    8
  x + 7 x  + 21 x  + 35 x  + 35 x  + 21 x  + 7 x  + x

两项式积分展开为

      2        3         4      5         6      7        8        9
 1/2 x  + 7/3 x  + 21/4 x  + 7 x  + 35/6 x  + 3 x  + 7/8 x  + 1/9 x  - 1/72

因此，可以逐项验证其正确性。

$3x\sin x$

$2x^{2}\cos 2x$

如果对$x^{7}\sin x$进行积分，需要应用分部积分法7次，才能使$x$变为1，从而产生8个项

    7             6              5               4               3
  -x  cos(x) + 7 x  sin(x) + 42 x  cos(x) - 210 x  sin(x) - 840 x  cos(x) +

        2
  2520 x  sin(x) +  5040 x cos(x) - 5040 sin(x)  + c


(Output from Maple.) 

尽管看起来很复杂，但这个函数具有一定的规律性，即7、7x6、7x6x5 ------7！，以及sin、cos、-sin、-cos、sin、cos等等，因此可以轻松手动计算。

微分方程

一阶微分方程在许多教科书中都有介绍。它们可以通过积分求解。（一阶方程具有 ${\frac {dy}{dx}}$，二阶方程具有 ${\frac {dy}{dx}}$ 和 ${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}$。）

任意常数意味着完整的解决方案需要另一个信息，例如牛顿冷却定律和半衰期示例。

如果所有 $x$ 可以放到一边，而所有 $y$ 可以放到另一边，则该方程是可分离的。

$2y{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=6x^{2}$

$\int 2y{\rm {d}}y=\int 6x^{2}{\rm {d}}x$

$y^{2}=2x^{3}+c$

这是通解。

典型示例是

$y=x{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\int {\frac {{\rm {d}}y}{y}}=\int {\frac {{\rm {d}}x}{x}}$

$\ln y=\ln x+\ln A~~~~~~(constant)~~~~i.e.~~~~~y=Ax$

根据对数的定义。

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=ky~~~~~~~~~~~~~~$ (1)

${\rm {k}}xy={\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$

$\int {\frac {{\rm {d}}y}{y}}=\int kx{\rm {d}}x~~~~~~~~~~~~~~$ (2)

$~~~~~~~~\ln y={\frac {1}{2}}kx^{2}+A~~~~~~~$ (3)

这对应于

$y=Be^{{\frac {1}{2}}kx^{2}}$

薛定谔方程是一个二阶微分方程，例如在一个盒子里的粒子

${\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {{\rm {d}}^{2}\Psi }{{\rm {d}}x^{2}}}+E\Psi =0$

经过几十年的努力，人们才最终找到了针对多原子分子计算效率高的解法。本质上，人们将原子轨道系数展开，然后积分将微分方程转换为一组数字和积分，即一个矩阵。然后通过矩阵代数求解所得联立方程，找到解。

三角函数的微积分

用三角函数表达同一个东西有很多不同的方法，通常成功的积分依赖于识别三角恒等式。

$\int {\sin 2xdx}=-{\frac {1}{2}}\cos 2x+c$

但也可能是

$\sin ^{2}x~~{\rm {or}}~~-\cos ^{2}x$

（每个都有一个积分常数！）。

将微积分应用于这些函数时，需要确定哪个形式在当前操作中最简单。对于积分，它通常包含一个函数与其导数的乘积，例如 $2\sin x\cos x$，可以使用换元积分。

如果在分子中发现导数，而在分母中发现其积分，那么我们将得到一个 $\ln$ 函数。这就是我们积分 $tan$ 的方法。

$\int {\tan xdx}=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}dx=-\ln ~(\cos x)+c$

我们可以看到这个函数在 $\pi /2$ 处趋于无穷大，正如预期的那样。

重排积分

举个例子

$\int {\cos ^{2}xdx}$

这里没有 $\sin$ 函数与 $\cos$ 幂相乘，因此我们不能使用换元法。但是，存在以下两个三角恒等式

$\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$

以及

$\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =\cos 2\theta$

使用这些恒等式，我们有

$\int {\cos ^{2}xdx}=\int {{\frac {1}{2}}{(1+\cos 2x)}}dx$

因此我们有两个可以积分的简单项。

麦克劳林级数

我们首先假设一个函数可以用一个关于 $x$ 的无穷幂级数来近似

$f(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\dots$

通过求导并将 $x=0$ 代入，得到

$f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+{\frac {f^{''}(0)}{2!}}x^{2}+{\frac {f^{'''}(0)}{3!}}x^{3}+{\frac {f^{''''}(0)}{4!}}x^{4}+\ldots$

正弦、余弦和 $e^{x}$ 可以用此级数近似表示

$\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}\dots$

$\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}\dots$

$e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}\dots$

注意 $e^{x}$ 也适用于负 $x$。

当求导或积分时，$e^{x}$ 会生成自身！

当求导时，$\sin x$ 会生成 $\cos x$。

利用级数，我们可以将一个复杂函数转换为多项式，并可以使用 $\sin x=x-x^{3}/6$ 来近似计算较小的 $x$。

事实上，计算机程序内部使用的近似方法更像是：${\frac {ax^{2}+bx+c}{Ax^{2}+Bx+C}}$

这些近似方法具有更大的范围，但开发起来更困难，在计算器上或用大脑直接估算时也比较繁琐。

我们无法以这种方式展开 $\ln x$，因为 $\ln 0$ 是

$-\infty$。然而， $\ln(1+x)$ 可以展开。

计算 $\ln(1+x)$ 的级数。

阶乘

你在级数中看到的阶乘来自重复微分。 $n!$ 也有统计学意义，它表示对 $n$ 个物体进行排列的唯一方法数量。

$0!$ 根据定义为 1，即排列 0 个物体的不同方法数量为 1。

在统计热力学中，你会在诸如： $W={\frac {N!}{n_{0}!n_{1}!n_{2}!...}}$ 这样的表达式中遇到许多阶乘。

阶乘会迅速变得过大：6！= 720，8！= 40320，而 12！= 479001600，因此，如果可能的话，我们需要将它们除以合理数，例如 $8!/6!=7{\rm {x}}8$。

斯特林近似

同样在统计热力学中，你会发现斯特林近似

$\ln x!\approx x\ln x-x$

该公式在阿特金斯的物理化学中被证明和讨论。

如何使用级数来估计 $\ln 2$。注意， $\ln(1+x)$ 的级数是

$\ln(1+x)$ 收敛速度极慢。 $e^{x}$ 速度快得多，因为

$n!$ 分母迅速变大。

三角函数幂级数

记住，当您使用 $\sin x=x$ 和 $\cos x=1-x^{2}/2$

x 必须以弧度表示.....

微积分复习

问题

对 x 的 x 次方进行积分

1. 对 $e^{-t}\cos 2t$ 求导，关于 $t$。（提示 - 使用链式法则。）
2. 对 $x^{2}{(3x+1)}^{4}$ 求导。（这里使用链式法则和乘积法则。）
3. 对 $\ln ~(7x^{4})$ 求导。（提示 - 首先将其拆分成对数之和。）
4. 对 $\ln ~x$ 进行积分。（提示 - 使用分部积分法，并将微分表达式设为 1。）

答案

1. 它就是 $e^{-t}.-2\sin 2t-e^{-t}\cos 2t$。从每一项中提取一个 $-e^{-t}$ 以简化为 $-a(b+c)$。
2. $2x{(9x+1)}{(3x+1)}^{3}$.
3. $\ln ~7+4\ln ~x$ - 因此它是 $\ln ~x$ 的导数的 4 倍。
4. 通过一次应用“分部积分法”，你应该得到 $x\ln ~x-x$。