化学数学/数论

数字

实数 有多种类型和形式；

• 自然数 是大于或等于零的整数。
• 整数 是用于计数不可分割对象的整数，以及负数等价物和零，例如 42，-7，0
• 有理数 始终可以表示为分数，例如 4.673 = 4673/1000。
• 无理数 与有理数不同，不能表示为分数或确定的十进制数，例如 $\pi$ 和 ${\sqrt {2}}$

还值得注意的是，虚数单位 因此复数 用于化学，尤其是在处理涉及波的方程时。

根式

根式 的起源可以追溯到希腊哲学家。证明 2 的平方根不能是两个整数的比率相对简单，无论这些整数有多大。在一个相当蒙提·派森式 的事件中，该证明的发明者因异端而被其他哲学家处死，因为他们无法相信像 2 的根这样的纯数会具有这种不纯的性质。

（二次方程的最初使用非常古老，公元前几个世纪的巴比伦。）这是为了将土地分配给农民，分配的数量与大洪水发生后传统的土地数量相同，大洪水改变了底格里斯河和幼发拉底河的田野。这种数学技术在尼罗河三角洲也被用于同样的目的。

当你以后做三角学时，你会发现根式出现在重要对称角的三角函数中，例如 $\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}$，因此它们经常出现在与 3 维空间相关的数学表达式中。

符号

化学中用于记录数字的符号与其他科学学科相同，并适当地称为科学记数法 或标准形式。与十进制记数法 相比，它是一种以缩短形式表示极大数和极小数的方法。用科学记数法表示的数字的示例是

$4.65\times 10^{6}$

其中 $.65$ 是一个系数，称为有效数字 或尾数，$6$ 是一个整数指数。用十进制记数法表示时，该数字变为

$4650000$.

用科学记数法表示的数字通常是归一化的，这样小数点前面只有一个数字。这是为了便于数量级 的比较，只需比较用科学记数法表示的两个数字的指数，同时也为了最大程度地减少转录错误，因为小数点在第一个数字之后有一个假定的位置。在计算和计算器中，$\times 10$（“乘以十的 n 次方”）通常用“E”（大写 e）代替。重要的是不要将这个“E”与数学常数e 混淆。

工程记数法是科学记数法的特殊限制，其中指数必须能被三整除。因此，工程记数法不是归一化的，但可以轻松使用国际单位制词头 来表示大小。

请记住，在SI中，数字之间不使用逗号来分隔千位，而是使用空格，例如$18~617~132$（整数）或$1.861~713~2{\rm {x}}10^{7}$。许多国家使用逗号作为小数点。

指数

考虑一个数字$x^{n}$，其中$x$ 是底数，而$n$ 是指数。这通常读作“$x$ 的 $n$ 次方”或“$x$ 的 $n$ 次幂”。如果$n=2$，那么通常说“$x$ 的平方”，如果$n=3$，那么说“$x$ 的立方”。将幂（指数）与正整数 n$(n=1,2,3\dots )$ 的乘法进行比较，可以证明

$4x=x+x+x+x$，即$x$ 的四倍相加

$x^{4}=x\times x\times x\times x$，即$x$ 自身相乘四次。

对于$x^{1}$，结果仅仅是$x$。对于$x^{0}$，结果是$1$。

$x^{n}$ 可以像这样简化为乘法，如果 $n$ 是一个整数：$x^{n}=\underbrace {x\times \cdots \times x} _{n}.$

运算顺序

当一个表达式包含不同的运算时，它们必须按照一定的顺序进行计算。指数首先计算。然后，乘法和除法从左到右计算。最后，加法和减法从左到右计算。括号优先于所有运算。括号内的任何内容必须首先计算。一个常用的记忆运算顺序的缩略语是 **PEMDAS**，代表 "Parentheses, Exponents, Multiplication, Division, Addition, Subtraction"。另一种记忆此缩略语的方法是 "Please Excuse My Dear Aunt Sally"。

请记住，否定通常被认为是乘法。因此，在 $-x^{2}$ 的情况下，指数将首先计算，然后否定，得到一个负数。

请注意以下示例

$3+x\times 2,{\text{ let }}x=5.$

如果计算错误（从左到右，没有运算顺序），结果将为 16。三加五等于八，乘以二等于 16。正确答案应该是 13。五乘以二等于十，加三等于 13。这是因为乘法在加法之前解决。

部分分式

部分分式在热力学中的几个推导中使用，它们非常适合练习代数和因式分解。

可以以多种方式表达商。在实际应用中，它们可以通过部分分式法收集成一个项或生成多个项。一个复杂的单项商的积分通常很困难，而将其分解成一个和，则可以得到标准积分的和。这是部分分式的主要化学应用。

一个例子是

${\frac {x-2}{(x+1)(x-1)}}={\frac {A(x-1)+B(x+1)}{(x+1)(x-1)}}={\frac {A}{(x+1)}}+{\frac {B}{(x-1)}}$

在上面的 $x-2$ 必须等于 $A(x-1)+B(x+1)$，因为分母相等。所以我们先将 $x$ 设置为 +1，得到 $-1=2B$。因此，B = -1/2。如果我们将 $x=-1$ 设置为相反的，$-3=-2A$，因此 $A=3/2$。所以

${\frac {x-2}{(x+1)(x-1)}}={\frac {3}{2(x+1)}}-{\frac {1}{2(x-1)}}$

我们可以通过使用公分母来逆转此过程。

${\frac {3}{2(x+1)}}-{\frac {1}{2(x-1)}}={\frac {3(x-1)-(x+1)}{2(x+1)(x-1)}}}$

分子是 $2x-4$，所以它变成

${\frac {(x-2)}{(x+1)(x-1)}}$

这就是我们开始时的表达式。

因此，我们可以通过将分子乘以分母来生成一个单项式，从而创建公分母，然后将分子加起来进行简化。一个典型的应用可能是将一个项转换为部分分数，对这些项进行一些微积分运算，然后重新组合成一个商式以用于显示。在一个分解后的单一商式中，更容易看出分子在何处变为零，从而给出 $f(x)=0$ 的解，以及分母在何处变为零，从而给出无穷大。

化学中一个有意义的无穷大的典型例子可能是以下表达式：

${\frac {A}{{(E-E_{a})}^{2}}}$

变量是能量 E，所以这个函数在所有地方都很小，除了在 $E_{a}$ 附近。在 $E_{a}$ 附近发生共振，当两种能量完全相同时，该表达式变为无穷大。可以通过光电子激发的分子具有多个这样的共振。

这里还有另一个例子。如果我们必须积分以下表达式，我们首先会将其转换为部分分数

${\frac {3x}{2x^{2}-2x-4}}={\frac {3x}{2(x+1)(x-2)}}={\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x-2}}$

所以

${\frac {3}{2}}x=A(x-2)+B(x-1)$

令 $x=2$，则 $3=B$

令 $x=1$，则 ${\frac {3}{2}}=-A$

因此，该表达式变为

${\frac {3}{x-2}}-{\frac {3}{2(x+1)}}$

稍后你将了解到，这些表达式积分后将给出关于自然对数的简单表达式。

问题

${\rm {(1)~~~~~~}}{\frac {3}{x^{2}-1}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(2)~~~~~~}}}{\frac {4x-2}{x^{2}+2x}}$

${\rm {(3)~~~~~~}}{\frac {4}{(2x+1)(x-3)}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(4)~~~~~~}}}{\frac {7x+6}{x^{2}+3x+2}}$

${~~~~~~{\rm {(5)~~~~~~}}}{\frac {x+1}{2x^{2}-6x+4}}$

答案

${~~~~~~{\rm {(1)~~~~~~}}}{\frac {3}{2(x-1)}}-{\frac {3}{2(x+1)}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(2)~~~~~~}}}{\frac {5}{(x+2)}}-{\frac {1}{x}}$

${~{\rm {(3)~~~~~~}}}{\frac {4}{7(x-3)}}-{\frac {8}{7(2x+1)}}{~~~~~~~~~~~~{\rm {(4)~~~~~~}}}{\frac {8}{x+2}}-{\frac {1}{x+1}}$

${~~{\rm {(5)~~~~~~}}}{\frac {3}{2(x-2)}}-{\frac {2}{2(x-1)}}$

多项式除法

这与部分分式有关，因为它主要用于简化积分。

除以

${\frac {3x^{2}-4x-6}{1+x}}$

像这样

               3x  - 7
             -----------------
      x + 1  ) 3x2  -4x   -6
               3x2  +3x
               ---------
                0   -7x   -6
                    -7x   -7
                    --------
                           1

所以我们的等式变成了 $3x-7+{\frac {1}{1+x}}$

这个可以很容易地微分和积分。如果使用商式求导公式微分，则要将它化简到相同的形式会相当困难。相同的步骤可以应用于部分分式。

替换和展开

你可以通过简化来看到改变变量的价值

${\frac {{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{3}+2{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}+1}{{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{2}-9}}-{\frac {{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{2}-2{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}+1}{{\left({\frac {J(J+1)}{\epsilon }}\right)}^{2}+9}}$

到

${\frac {x^{3}+2x+1}{x^{2}-9}}-{\frac {x^{2}-2x+1}{x^{2}+9}}$

其中

$x={\frac {J(J+1)}{\epsilon }}$

这是一个简化的例子。实际上，你可以对 $J$ 或 $\epsilon$ 进行微分，只需要使用你所学过的技术。代数操作涉及到 *商式求导* 和 *链式法则*。

计算 ${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}$ 得到

${\frac {3x^{2}+2}{x^{2}-9}}-2{\frac {(x^{3}+2x+1)x}{(x^{2}-9)^{2}}}-{\frac {2x-2}{x^{2}+9}}+2{\frac {(x^{2}-2x+1)x}{(x^{2}+9)^{2}}}$

将这个展开成 $J$ 和 $\epsilon$ 会看起来很奇怪。

为了得到新的更简单的表达式，我们不断进行这样的替换，然后将微积分规则或恒等式应用于它们。