化学数学/化学中的一些数学示例

变量名称

无处不在的$x$ 并不总是变量，正如大家现在都知道的那样。处理实际应用的一个问题是弄清楚哪些符号是变量，哪些是常数。（如果你仔细观察教科书中专业设置的方程式，你会发现常数是用罗马字体设置的，即直线字母，而变量用斜体字。不要依赖这一点，因为它经常被忽略。）

以下是一些变量传统上不是$x$ 的例子。

1. 旋转中使用的欧拉角 通常是$\alpha ,\beta$ 和 $\gamma$ 而不是更常见的角度名称$\theta$ 和 $\phi$。因此，最常见的欧拉定义中最后一次扭曲的旋转矩阵 如下所示：${\begin{bmatrix}\cos(\gamma )&\sin(\gamma )&0\\-\sin(\gamma )&\cos(\gamma )&0\\0&0&1\\\end{bmatrix}}$
2. 氢原子 中产生巴尔末系 的能级跃迁由公式${\tilde {\nu }}={\rm {R_{H}}}\left({\frac {1}{2^{2}}}-{\frac {1}{n^{2}}}\right)$ 给出。${\tilde {\nu }}$ 只是能量的一个单变量，波浪号 是光谱学家用来表示波数（cm^-1）的惯例。${\rm {R_{H}}}$ 上的 H 下标没有数学意义。它是里德伯常数，因此用罗马字体表示。${\rm {R_{H}}}$ 的值非常精确，为 109,677.581 cm^-1。实际上，在考试条件下，有相当一部分学生在把这个分数化成最简分数时犯了错误。
3. 在光的理论中，$\omega$ 用于表示频率，而 $t$ 自然地表示时间。光是一种振荡的电磁场，因此余弦函数是描述它的一个非常好的方法。您也可以在这里看到复数的使用。使用 阿根图 的实轴表示电场，虚轴表示磁场，这在数学上是一种非常自然的描述，并且完美地映射到物理现实中。在这里，我们对 $t$ 和 $\omega$ 进行积分，如果这是一个激光实验，工作频率是一个常数，因此它出现在积分中的分母中。 $\int \cos(\omega t)\sin(\omega t)dt=-{\frac {\cos(\omega )^{2}}{2\,\omega }}+c$ 在这种情况下，我们可以看到积分常数的物理解释。它将是一个相位因子。如果我们正在处理阳光，我们可能需要对 $\omega$ 进行不同的函数积分，以计算所有在不同光频率下具有不同强度的现象。我们的积分限将从零到无穷大，或者可能是对应于可见光的能量范围。
4. 此示例是一个名为二次谐波产生的激光实验。存在一个电场$F$，频率为$\nu$，以及一个属性常数$\chi _{(2)}$。$\epsilon _{0}$ 是一个基本常数。我们有一个以频率$\nu$ 闪烁的强单色激光场（即来自大型激光器的强光束）。$F_{v}\sin(2\pi \nu t)$ 因此$F^{2}$ 项对极化有$\epsilon _{0}\chi _{(2)}F_{v}^{2}\sin ^{2}(2\pi \nu t)$ 的贡献。我们从三角恒等式中知道，$\sin ^{2}$ 可以表示为双角的余弦$\cos(2\theta )=1-2\sin ^{2}\theta$。因此极化是${\frac {1}{2}}\epsilon _{0}\chi _{(2)}F_{v}^{2}(1-\cos 4\pi \nu t)$。在这片下标和希腊字母的森林中，重要的是，有两个项贡献来自$(1-\cos 4\pi \nu t)$，它乘以其他所有东西。总之，我们有$A\sin ^{2}(t)$ 等于 $B(1-\cos(2t))$，其中除了三角函数(t) 和三角函数(2t) 之外，其他所有内容在一定程度上对频率加倍现象不重要。$\sin$ 和 $\cos$ 仅在相位偏移方面有所不同，因此它们代表了相同的物理现象，即具有相位的光。（激光光的一个重要特性是它是相干的，即它都具有相同的相位。这在我们数学中是基本嵌入的。）

范德华力能

两个惰性气体原子之间的范德华力可以简单地写成$r$的函数。

$E_{vdw}={\frac {\rm {A}}{r^{12}}}-{\frac {\rm {B}}{r^{6}}}$

请注意，$r^{12}$项为正，对应排斥力。 $r^{6}$项是吸引项，为负，对应能量降低。 A 和 B 是根据实验数据拟合的常数。

此函数非常容易求导和积分。 求出它们的导数和积分。 在气体模拟中，可以使用导数来计算作用在原子上的力，并对牛顿定律进行积分以找出原子下一步的位置。

另一个使用的势能是

$E_{vdw}={\rm {A}}e^{-{\rm {B}}r}-{\rm {C}}r^{-6}$

此函数多一个可拟合常数。 求出它的积分和导数。

${\frac {\rm {A}}{r^{12}}}-{\frac {\rm {B}}{r^{6}}}$被称为伦纳德-琼斯势，通常用能量$\epsilon$和距离$\sigma$这两个参数表示。

$E(r)=4\epsilon \left({{\left({\frac {\sigma }{r}}\right)}^{12}-{\left({\frac {\sigma }{r}}\right)}^{6}}\right)$

$\epsilon$是能量。 将此函数的导数设为零，找出范德华力的最小值。 再求一次导数，证明导数为正，因此该阱为最小值，而不是转折点。

双原子势能面

氩二聚体的相互作用能。 长程部分是由于伦敦色散力。

在双原子分子中，能量随着键的拉伸而呈多项式形式扩展。 我们设定 $x=(r-r_{0})$。 在 $r_{0}$处，函数取最小值，因此没有 $dE/dx$项。

$E={\frac {1}{2}}k_{harm.}{\frac {{\rm {d}}^{2}E}{{\rm {d}}x^{2}}}+{\frac {1}{6}}k_{anharm.}{\frac {{\rm {d}}^{3}E}{{\rm {d}}x^{3}}}$

无论选择什么函数来提供能量，都需要将一阶导数设置为零来计算 $r_{0}$。 然后需要对二阶和三阶导数进行评估，以给出势能的形状，从而给出红外光谱。 $E$ 通常由一个非常复杂的函数建模，其微分计算并非易事。

一维金属

一维金属由一个无限的原子链建模，原子间距为 150 皮米。 如果金属是锂，每个原子核带 3 个电荷，其电子由以下函数建模：

$cos^{2}\left\{{\frac {\pi }{2}}{\frac {r}{150}}\right\}$

该函数每 150 皮米重复一次。 此函数必须乘以什么常数才能确保每个原子上有 3 个电子？（提示……在 $-{\frac {\pi }{2}}$ 和 $+{\frac {\pi }{2}}$ 或 -75 皮米和 +75 皮米之间对 $cos^{2}$进行积分，根据你的方程。 该积分是一个无量纲数，等于电子的数量，因此我们将不得不乘以一个归一化常数。）

在这里，我们已经对电子的密度进行了建模。 在二年级的后半部分，你将看到每个独立电子的函数（称为轨道）更准确地描述了电子结构。 这些函数受到严格的数学要求，这意味着它们很有趣，也很难计算。

开普勒定律

另一个物理问题，但也是对数-对数图的一个很好的例子，是行星的半径和周期关系。

这些数据是无量纲的，因为我们已经除以了地球的时间/距离。 我们可以对两者取对数。

	水星	金星	地球	火星	木星	土星
r	0.3871	0.7233	1	1.524	5.203	9.539
T	0.2408	0.6152	1	1.881	11.86	29.46

	水星	金星	地球	火星	木星	土星
log10r	-0.4122		0			0.9795
log10T	-0.6184		0			1.4692

尝试在你的电子表格程序中进行最小二乘拟合。 使用地球和土星数据：（这在实验实践中非常糟糕，因为只使用了数据集中的两个点！）

$\Delta ({\log }T)/\Delta ({\log }r)=1.5000359$

所以 ${\log }T=1.5{\log }r={\log }r^{1.5}$

所以 $T=r^{3/2}$ 并且 $T^{2}=r^{3}$

这是 开普勒第三定律。无论使用最小二乘拟合梯度还是水星到土星的数据，你都会得到相同的幂。我们能够不用完整的数据集是因为给出的数字异常精确，在某种程度上是循环论证的（记住行星绕椭圆轨道运行，而不是圆形轨道！）。

牛顿冷却定律

$\theta$ 是冷却物体超过室温的温度差（例如 20^oC）。冷却速率与温度差成正比。

$-{\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}=k\theta$

${\rm {using~~~~~}}{\frac {{\rm {d}}x}{{\rm {d}}y}}={\frac {1}{\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}}$

${\frac {{\rm {d}}t}{{\rm {d}}\theta }}=-{\frac {1}{k\theta }}$

这是一个微分方程，我们对 $\theta$ 进行积分以得到

$t=-{\frac {1}{k}}\ln \theta +c$

水被加热到 $80^{o}$C，室温是 $20^{o}$C。开始时 $t=0$ 并且 $\theta =60$，所以

$0=-{\frac {1}{k}}\ln 60+c$

因此

$c={\frac {\ln 60}{k}}$

$t=-{\frac {1}{k}}\ln \theta +{\frac {1}{k}}\ln 60$

但是 $\ln 60-\ln \theta =-\ln {\frac {\theta }{60}}$

所以 $\ln {\frac {\theta }{60}}=-kt$

5 分钟后，水冷却到 $70^{o}$C。

所以 $\ln {\frac {50}{60}}=-5k$ 所以 $k=-{\frac {1}{5}}\ln {\frac {5}{6}}={\frac {1}{5}}\ln {\frac {6}{5}}<math>.So<math>k=0.0365$

$\ln {\frac {\theta }{60}}=-0.0365t$

${\frac {\theta }{60}}=e^{-0.0365t}$

根据对数的定义。这给出了一个在 80 和 20 ^oC 之间的指数衰减图。

所以 10 分钟后 $t=20+60e^{-0.365}=61.6^{o}$C。 20 分钟后 $t=20+60e^{-0.73}=49.9^{o}$C。 30 分钟后 $t=20+60e^{-1.10}=40.1^{o}$C。

细菌生长

2 克的生物体每天每克增长 1/10 克。

${\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}={\frac {m}{10}}$

这是一个通过积分求解的微分方程，因此

$\int {\frac {10}{m}}{\rm {d}}m=\int {{\rm {d}}t}$

$10\ln m=t+c$

$\ln m={\frac {t}{10}}+c$

因此

$m=e^{c}e^{\frac {t}{10}}$

当 $t=0$ 我们有 2 克，所以

$m=2e^{t/10}$

为了使样品质量加倍

$4=2e^{t/10}$

$2=e^{t/10}$

$\ln 2={\frac {t}{10}}$

$t=10\ln 2=6.9315{\rm {days}}$

半衰期计算类似，但指数为负。

二阶速率方程的偏分式

在化学工作中，你可能会使用二阶速率方程，它需要使用偏分式才能进行积分。

如果你还记得，我们会得到类似于以下的式子:

${\frac {1}{(2-x)(3-x)}}={\frac {A}{(2-x)}}+{\frac {B}{(3-x)}}$

将等式右边通分

${\frac {1}{(2-x)(3-x)}}={\frac {A(3-x)+B(2-x)}{(2-x)(3-x)}}$

由此得到 $1=3A-Ax+2B-Bx$

令 x 等于 3，得到 1 = -B (B=-1)。令 x 等于 0 且 B 等于 -1

             1 = 3A -2     (A=+1)

   Check    1 = 3 -x -2 +x  true...

因此

$\int {\frac {1}{(2-x)(3-x)}}dx=\int {\frac {1}{(2-x)}}-\int {\frac {1}{(3-x)}}dx=\ln(2-x)+\ln(3-x)+c$

注意对 1/(2-x) 而不是 1/x 进行积分时的符号变化。