化学数学/测试和考试

可能的期末考试及说明

此考试曾经用于监测大学化学专业学生在第一年结束时的学习情况，旨在以50分钟的时间，较为轻松地检查学生在多个方面的技能。考试包含了简单和困难的问题，以使阅卷者能够更好地了解学生的代数技能，甚至可以判断学生是否能够完成臭名昭著的分部积分。

---

(1) 求解以下关于 $x$ 的方程

$x^{2}+2x-15=0$

该方程可分解为 3 和 5，因此：$(x+5)(x-3)=0$，因此根为 -5 和 +3，而不是 5 和 -3！

---

(2) 求解以下关于 $x$ 的方程

$2x^{2}-6x-20=0$

两边同时除以 2，得到 $x^{2}-3x-10=0$.

该方程可分解为 2 和 5，因此：$(x-5)(x+2)=0$，因此根为 5 和 -2。

---

(3) 简化

$\ln w^{6}-4\ln w$

首先$6\ln w-4\ln w$，因此它变为 $2\ln w$.

---

(4) 是什么

$\log _{2}{\frac {1}{64}}$

64 = 8 x 8，因此它也等于 $2^{3}$x$2^{3}$，即 ${\frac {1}{64}}$ 为 $2^{-6}$，因此答案为 -6。

---

(5) 将两个复数相乘

$3+5i~~~~{\rm {and}}~~~~3-5i$

这些是复数的共轭，所以它们是 $3^{2}$ 减去 $i^{2}$x$5^{2}$，即加上25，所以总和是34。

---

(6) 将两个复数相乘

$(5,-2)~~~~{\mathrm {a} nd}~~~~(-5,-2)$

实部是 -25 加上 $4i^{2}$。交叉项得到 $-10i$ 和 $+10i$，所以虚部消失了。

---

(7) 对 $x$ 求导

${\frac {1}{3x^{2}}}-3x^{2}$

答案: $~~~~~~~-{\frac {2}{3x^{3}}}-6x$

---

(8) ${\frac {6}{x^{4}}}+3x^{3}$

答案: $~~~~~~~9{x^{2}}-{\frac {24}{x^{5}}}$

---

(9) ${\frac {2}{\sqrt {x}}}+2{\sqrt {x}}$

答案: $~~~~~~{\frac {1}{\sqrt {x}}}-{\frac {1}{\sqrt {x^{3}}}}$

---

(10) $x^{3}(x-(2x+3)(2x-3))$

首先展开两个平方差……收集并相乘……然后逐项求导，得到：$~~~~20x^{4}-4x^{3}+27x^{2}$

---

(11) $3x^{3}\cos 3x$

这需要使用乘积法则.... 将 $9x^{2}$ 提取出来 .... $9x^{2}(\cos 3x-x\sin 3x)$

---

(12) $\ln(1-x)^{2}$

这可能是一个链式法则问题....... ${\frac {1}{(1-x)^{2}}}.2.(-1).(1-x)$

或者你可以将 2 的幂从对数中提取出来，并使用更短的链式法则直接得到相同的答案：$-{\frac {2}{(1-x)}}$.

---

(13) 进行以下积分

$\int \left(2\cos ^{2}\theta +2\theta \right){\rm {d}}\theta$

$\cos ^{2}$ 必须转换为双倍角形式，如许多示例所示.... 然后对所有 3 个部分进行积分，结果为 .......

$\cos \theta \sin \theta +\theta +\theta ^{2}$

---

(14) $\int \left(8x^{-3}-{\frac {4}{x}}+{\frac {8}{x^{3}}}\right){\rm {d}}x$

除了 $-{\frac {4}{x}}$，它会变成 $\ln$，这是一个简单的多项式积分。另外，还有一个需要注意的陷阱，即两项可以合并成 ${\frac {16}{x^{3}}}$.

$-({\frac {8}{x^{2}}}+4\ln x)$

---

(15) 与以下行列式对应的方程是什么

${\begin{vmatrix}b&{\frac {1}{\sqrt {2}}}&0\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}&b&1\\0&1&b\\\end{vmatrix}}=0$

第一项为 $b(b^{2}-1)$，第二项为 $-{\frac {1}{\sqrt {2}}}({\frac {b}{\sqrt {2}}}-0)$，第三项为零。总共加起来为 $b^{3}-3/2b$.

---

(16) 以下微分方程的一般解是什么？

${\frac {{\rm {d}}\phi }{{\rm {d}}r}}={\frac {\rm {A}}{r}}$

其中A是常数。

$\theta =A\ln r+k$.

---

(17) 用分部积分法求解：$\int x\sin x{\rm {d}}x$

将 $x$ 作为需要求导的因子并应用公式，注意符号... $\sin x-x\cos x$.

---

(18) 哪一个函数的麦克劳林展开式以这些项开头？

$1+x+x^{2}/2!+x^{3}/3!+x^{4}/4!+\dots$

它是 $e^{x}$....

---

(19) 将以下表达式

${\frac {x-2}{(x-3)(x+4)}}$ 表示成部分分式。

它等于..... $~~~~~{\frac {1}{7(x-3)}}+{\frac {6}{7(x+4)}}$

---

(20) $2e^{i4\phi }-\cos 4\phi$ 用sin和cos表示。

这仅仅是欧拉公式..... $2e^{i4\phi }=2\cos 4\phi -2i\sin 4\phi$

所以一个 $\cos 4\phi$ 消掉了，得到... $\cos 4\phi -2i\sin 4\phi$.

50分钟考试二

(1) 简化 $2\ln(1/x^{3})+5\ln x$

---

(2) $\log _{10}{\frac {1}{10~000}}$ 的值是多少？

---

(3) 求解以下关于 $t$ 的方程式：

$t^{2}-3t-4=0$

---

(4) 求解以下关于 $w$ 的方程式：

$w^{2}+4w-12=0$

---

(5) 将两个复数 $(-4,3)~~~~{\rm {and}}~~~~~(-5,2)$ 相乘。

---

(6) 将两个复数 $3+2i~~~~{\rm {and}}~~~~~~3-2i$ 相乘。

---

(7) 哪个函数的麦克劳林级数以这些项开头？

$x-x^{3}/6+x^{5}/120+\dots$

---

(8) 对 $x$ 求导：

$x^{3}(2-3x)^{2}$

---

(9) ${\frac {\sqrt {x}}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2{\sqrt {x}}}}$

---

(10) $x^{4}-3x^{2}+{\rm {k}}$

其中 k 为常数。

---

(11) ${\frac {2}{3x^{4}}}-{\rm {A}}x^{4}$

其中 A 为常数。

---

(12) $3x^{3}e^{3x}$

---

(13) $\ln(2-x)^{3}$

---

(14) 执行以下积分：

$\int \left(3w^{4}-2w^{2}+{\frac {6}{5w^{2}}}\right){\rm {d}}w$

---

(15) $\int \left(3\cos \theta +\theta \right){\rm {d}}\theta$

---

(16) 求行列式\begin{vmatrix} x & 0 & 0\\ 0 & x & i \\ 0 & i & x \\ \end{vmatrix} = 0</math> 所对应的方程

---

(17) 求下列微分方程的通解

${\frac {{\rm {d}}y}{{\rm {d}}x}}=ky$

---

(18) 用任何合适的方法积分

$\int \left(\ln x+{\frac {4}{x}}\right){\rm {d}}x$

---

(19) 将 ${\frac {x+1}{(x-2)(x+2)}}$

表示成部分分式形式.

---

(20) 用 sin 和 cos 表示 $2e^{i2\phi }+2i\sin 2\phi$.

50 分钟考试 III

(1) 求解以下方程，求解 $t$

$t^{2}-4t-12=0$

---

(2) 求 $\log _{4}{\frac {1}{16}}$

---

(3) 哪一个函数的 Maclaurin 级数以以下项开头？

$1-x^{2}/2+x^{4}/24+\dots$---- (4) 对 $x$ 求导数

${\frac {5}{x^{2}}}-8{x^{4}}$

---

(5) ${\frac {4}{\sqrt {x}}}-{{\sqrt {2}}x}$

---

(6) $5{\sqrt {x}}+{\frac {6}{x^{3}}}$

---

(7) ${\frac {5}{x^{3}}}-5x^{3}$

---

(8) $x^{2}(2x^{2}-(5+2x)(5-2x))$

---

(9) $2x^{2}\sin x$

---

(10) 将以下两个复数相乘：$(2,3)~~~~~~{\rm {and}}~~~~~~(2,-3)$

---

(11) 将以下两个复数相乘：$3-i~~~~~{\rm {and}}~~~~-3+i$

---

(12) 执行以下积分

$\int \left({\frac {1}{3x}}+{\frac {1}{3x^{2}}}-5x^{-6}\right){\rm {d}}x$

---

(13)

$\int \left(6x^{-2}+{\frac {2}{x}}-{\frac {8}{x^{2}}}\right){\rm {d}}x$

---

(14) $\int \left(\cos ^{2}\theta +\theta \right){\rm {d}}\theta$

---

(15) $\int \left(\sin ^{3}\theta \cos \theta +2\theta \right){\rm {d}}\theta$

---

(16) 使用分部积分法求解：$\int 2x\cos x{\rm {d}}x$

---

(17) 求以下行列式的对应方程

${\begin{vmatrix}x&-1&0\\-1&x&0\\0&0&x\\\end{vmatrix}}=0$

---

(18) 将 ${\frac {x-1}{(x+3)(x-4)}}$ 表示为部分分式。

---

(19) 求解以下微分方程的通解

${\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}r}}={\frac {r}{A}}$

---

(20) 使用 sin 和 cos 表示 $e^{i2\phi }-2i\sin 2\phi$。