化学数学/向量

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向量

想象一下，你从唐卡斯特坐火车到布里斯托尔，然后从布里斯托尔向上走到英格兰西部到达曼彻斯特。你在那里停留一天，第二天早上前往格拉斯哥，然后横穿到达爱丁堡。在一天的工作结束时，你回到唐卡斯特。从数学上讲，这段旅程可以用向量来表示（因为我们是平面地球人，所以用二维表示）。在第二次旅行结束时，（D-B）+（B-M）你距离唐卡斯特只有很短的距离，在钟面上 9.15 时为 50 英里。再添加两个向量（旅程），你将到达爱丁堡（大约在 12.00 时为 250 英里）。完成旅程后，你回到了唐卡斯特，也就是说，所有这些闭合路径的向量都加起来为零。

在数学上，我们通常在三个笛卡尔轴上使用三维向量 $x$，$y$ 和 $z$。

最好始终使用传统的右手坐标系，即使反方向在一致使用的情况下也是有效的。在发表的研究论文和教科书中偶尔会错误地找到错误的坐标系。记忆技巧是想象一张坐标纸，$x$ 是水平的，$y$ 是垂直的。正的 $z$ 然后从纸上伸出来。

一个单位向量是一个标准化的向量，即乘以一个常数，使其值为 1。我们在三个维度上有单位向量

${\hat {\mathbf {i} }}+{\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {k} }}$

所以

${\mathbf {v} }=A_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+A_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+A_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

i, j, k 上的帽子表示它是一个单位向量。这通常被省略。

我们地理上的类比使我们能够理解向量加法和减法的意义。向量乘积不太明显，有两个定义，标量积和向量积。它们是不同的数学对象，有非常不同的应用。标量积是一个面积，因此是一个普通的数字，一个标量。这有许多有用的三角学特性。

向量积起初看起来定义得很奇怪，但这个定义映射到自然界，成为描述角动量的一种非常优雅的方式。麦克斯韦方程组的结构使这种定义简化了原子/分子结构以及电磁现象的各种数学描述。

向量总结

三个笛卡尔维度上的单位向量

${\hat {\mathbf {i} }}+{\hat {\mathbf {j} }}+{\hat {\mathbf {k} }}$

一个向量 ${\mathbf {v} }$ 是

${\mathbf {v} }=A_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+A_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+A_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

i、j、k 上的帽子表示它是 *单位向量*。

向量大小

$V_{mag}={\sqrt {{A_{x}}^{2}+{A_{y}}^{2}+{A_{z}}^{2}}}$

常数乘以向量

${\mathbf {v} _{new}}=cA_{x}{\hat {\mathbf {i} }}+cA_{y}{\hat {\mathbf {j} }}+cA_{z}{\hat {\mathbf {k} }}$

向量加法

${\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }=(A_{x}+B_{x}){\hat {\mathbf {i} }}+(A_{y}+B_{y}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{z}+B_{z}){\hat {\mathbf {k} }}$

注意 ${\mathbf {B} }+{\mathbf {A} }={\mathbf {A} }+{\mathbf {B} }$

向量减法

${\mathbf {A} }-{\mathbf {B} }=(A_{x}-B_{x}){\hat {\mathbf {i} }}+(A_{y}-B_{y}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{z}-B_{z}){\hat {\mathbf {k} }}$

注意 ${\mathbf {A} }-{\mathbf {B} }=-(-{\mathbf {A} }+{\mathbf {B} })$

标量积

${\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }=A_{x}.B_{x}+A_{y}.B_{y}+A_{z}.B_{z}$

注意 ${\mathbf {B} }.{\mathbf {A} }={\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }$

注意，如果 ${\mathbf {A} }={\mathbf {B} }$，这将简化为一个正方形。

如果 A 和 B 在 $x$、$y$ 和 $z$ 没有公共的非零分量，那么该值为零，对应于 *正交*，*即* 它们成直角。（这也可能发生在符号组合使得 ${\mathbf {A} }.{\mathbf {B} }$ 为零。对应于非轴向直角。）

向量积

${\mathbf {A} }{\rm {x}}{\mathbf {B} }=(A_{y}B_{z}-A_{z}B_{y}){\hat {\mathbf {i} }}-(A_{x}B_{z}-A_{z}B_{x}){\hat {\mathbf {j} }}+(A_{x}B_{y}-A_{y}B_{x}){\hat {\mathbf {k} }}$

注意 ${\mathbf {B} }{\rm {x}}{\mathbf {A} }=-{\mathbf {A} }{\rm {x}}{\mathbf {B} }$

中间项的负号来自于行列式的定义，在讲座中解释。行列式以这种方式定义，以便它们对应于右手旋转。（如果你还记得我们关于 $\cos ^{2}+\sin ^{2}=1$ 绕圆周运动的图像，当一个坐标上升，*即* 更为正数，另一个坐标必须下降。因此，旋转公式必须包含负项和正项。）行列式与旋转和联立方程的解有关。 $n$ 个联立方程的解可以用图形方式重新表示为在 $n$ 维空间中的单位向量上的旋转，因此相同的数学结构适用于空间和联立方程。