一般力学/刚体

如果上一章中的粒子集合形成一个刚体，以角速度ω绕其质心旋转，则可以扩展关于上一章中惯性矩的结果。

我们得到

$I_{ij}=\sum _{n}m_{n}(r_{n}^{2}\delta _{ij}-{r_{n}}_{i}{r_{n}}_{j})$

其中 (r_n1, r_n2, r_n3) 是第 n 个质量的位置。

在连续体的极限情况下，这将变成

$I_{ij}=\int _{V}\rho (\mathbf {r} )(r^{2}\delta _{ij}-r_{i}r_{j})\,dV$

其中 ρ 是密度。

无论哪种方式，我们都得到，将 L 分解为轨道角动量和内禀角动量，

$L_{i}=M\epsilon _{ijk}R_{j}V_{k}+I_{ij}\omega _{j}$

并且，将 T 分解为旋转动能和平动动能，

$T={\frac {1}{2}}MV_{i}V_{i}+{\frac {1}{2}}\omega _{i}I_{ij}\omega _{j}$

通过适当的选择轴，总是可以使 I 成为一个对角矩阵。

常见几何形状的质量惯性矩

简单形状的均匀密度惯性矩是众所周知的。

球形壳

质量 M，半径 a

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{3}}Ma^{2}$

实心球

质量 M，半径 a

$I_{xx}=I_{yy}=I_{zz}={\frac {2}{5}}Ma^{2}$

细杆

质量 M，长度 a，沿 z 轴方向

$I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{12}}Ma^{2}\quad I_{zz}=0$

圆盘

质量 M，半径 a，位于 x-y 平面内

$I_{xx}=I_{yy}={\frac {1}{4}}Ma^{2}\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

圆柱体

质量为 M，半径为 a，高度为 h，沿着 z 轴方向

$I_{xx}=I_{yy}=M\left({\frac {a^{2}}{4}}+{\frac {h^{2}}{12}}\right)\quad I_{zz}={\frac {1}{2}}Ma^{2}$

薄矩形板

质量为 M，边长为 a 平行于 x 轴，边长为 b 平行于 y 轴

$I_{xx}=M{\frac {b^{2}}{12}}\quad I_{yy}=M{\frac {a^{2}}{12}}\quad I_{zz}=M\left({\frac {a^{2}}{12}}+{\frac {b^{2}}{12}}\right)$

进一步阅读

• Statics/Moment of Inertia (内容)
• Statics/Geometric Properties of Solids