心算

心算 - 有效心算指南

关于符号的说明：本书一般使用英语/美国符号风格。这包括使用逗号作为长数字中千位分隔符（例如 32,000 = 三万二千），使用句号（点）作为小数点。

在脑子里计算东西可能是一项艰巨的任务。如果你记不住你算过的结果，或者根本不知道如何解决问题，那么这将非常具有挑战性且令人沮丧。但通过学习和练习利用数学规律的方法，你可以显著提高算术的速度和准确性。这些方法通常被称为“高速心算”。即使在我们生活的计算机世界中，心算也是一项宝贵的技能。

1. 具备良好的心算技能可以节省时间，因为你不再需要每次做任务时都拿出计算器（或手机）。
2. 心算技能将提高你估计结果的能力，从而更好地识别计算机结果中的错误。例如，虽然计算器通常会给出正确答案，但基于输入内容，如果你不小心输入了错误的数字，如果你没有良好的心算技能，你可能不会发现你的错误。

加法

所有算术的基础是加法，也称为求和。与所有心算一样，你可以通过学习使用一些基本规律来提高加数字的能力。

改变加法顺序

在寻找可以帮助你快速完成加法问题的规律时，改变你加数字的顺序可能会有所帮助。例如，8+1 等于 1+8，在这两种情况下，你只需从 8 加 1，就能得到答案 9。如果你在加法问题上卡住了，尝试改变你加的第一个数字的顺序，看看是否有帮助。

加零、一或二

除非你完全不熟悉加法，否则你肯定知道加零的规律。任何数加上零等于原来的数。因此，当你看到加法问题中出现零时，你可以基本上忽略它，因为它不会对答案有任何影响。对于那些对数学琐事感兴趣的人来说，零在加法中不改变任何东西的这个性质，在算术中被称为“恒等性质”。另外，请记住，你只能在加法和有时在减法中忽略零。在乘法和除法中，问题中出现零总是会改变结果。你可能也知道加一的规则，即简单地数到下一个数字。这也可以快速应用于加二，你可以数到下一个数字，或者如果你对奇数和偶数很熟悉，你可以跳到下一个奇数或偶数。为了理解使用奇数和偶数规律，你可能熟悉那个有偶数的口号：“2、4、6、8，我们感谢谁？”如果我们加 6+2，我们将跳到下一个偶数，也就是 8。类似地，奇数是 1、3、5、7，所以 2+7 将是下一个奇数，也就是 9。

加九或八：从十倒数

你肯定也知道另一个算术规律，就是如何在数字上加 10。例如，2+10 是 12，或者 6+10 是 16。我们可以利用这个规律来帮助我们加 9 或 8。由于 9 比 10 少 1，你可以通过在数字上加 10 然后倒数 1 来加 9。例如，要计算 9+7，你可以加 10+7，结果是 17，然后倒数 1，得到 16。类似地，在数字上加 8 时，你也可以加 10，然后倒数 2 个数字。因此，例如，8+7 可以通过加 10+7，结果是 17，然后倒数 2，得到 15。如果你对奇数和偶数很熟悉，你也可以使用与加 2 时类似的规律，只需跳到下一个偶数或奇数。或者你可以说，当加 9 时，你知道它将是一个更大的数字，例如，9+8，你知道它会是一个两位数，所以先减 1，9+8 = 1，然后从 8 中减 1，得到 7，现在将它们并排写在一起，得到 17。

加倍和接近加倍

你可能已经很擅长加倍数字，例如 2+2。加倍数字与乘以 2 相同。这也意味着，如果你已经学会了用数字计数，例如用 4 计数，你就知道它是 4、8、12、16…因此 4+4 是 8。一旦你擅长加倍，你就可以利用这种知识来加倍相近的数字，只需加 1 或减 1 即可。因此，例如，8+7 可以通过加 8+8，结果是 16，然后减 1，得到 15。（如果你觉得更容易，你也可以通过加 7+7，结果是 14，然后加 1 得到 15。）

加五

这个技巧比我们之前谈到的其他技巧要难一点，但是练习几次可能会有所帮助。当把5加到另一个数时，目标是“在另一个数中找到5”，然后加上或减去剩余的数字。例如，当加5+8时，你可以说8是5+3，所以5+8是5+5+3，或者13。如果你不能掌握这个方法，不要担心，因为大多数情况下，你可以使用其他已经教过的方法来找到答案。

凑十或接近十

记住加起来等于10的数字组合很有用，比如

• 0+10
• 1+9
• 2+8
• 3+7
• 4+6
• 5+5

通过了解这些组合，如果你看到一个略微不同的组合，你就会知道是加1还是减1。例如，4+7中的7比6高1，所以这个组合应该加起来等于11，因为4+6=10，所以4+6+1=11。

通过找到加起来等于10的倍数的数字来对数字组求和

当加很多小数时，一个有用的技巧是将加起来等于10的倍数的数字组合在一起。例如，如果你需要加2 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 8，可以重新排列成(3 + 7) + (9 + 11) + (2 + 8) + 5 = 10 + 20 + 10 + 5 = 45。这种方法在进行三位数以上的竖式加法时也很有用。例如，在下面的问题中

 56
 35
 47
 21
 12
 32
+23 
---

竖式加法通常是通过将个位上的数字加起来，进位，然后将十位上的数字加起来，依此类推。一个使这个任务更容易的方法是将个位上的数字分成十组，并在你的纸上标记它们，如下所示

 5 6
 3 5
 4 7\
 2 1 \
 1 2  -- 10
 3 2 /
+2 3/ 
---

同样，6、2和2会被划掉，得到另一个10。因此，个位上的数字加起来等于10+10+5+1（剩下的）或26。

减法

在减数字时，一个有用的技巧是从较小的数字开始，然后在心里跳跃到差值，并在可识别的边界处跳跃，例如10的幂。例如，为了从213中减去67，我将从67开始，然后加上3 + 30 + 100 + 13。试一次，你就会发现它有多么容易。大声说出你的想法，它应该是“三，三十三，一百三十三加上剩下的13是一百四十六”。第二个方法是将你要减去的数字分解。所以，与其做1000-258，不如做1000-250，然后减去8。

从以1后跟零组成的数字中减法：100；1,000；10,000；等等

例如，1,000 - 258 我们只需将258中的每个数字从9中减去，最后一个数字从10中减去。

         2           5             8
         from 9      from 9        from 10
         7           4             2

所以答案是1,000 - 258 = 742

注意，如果被减数（减数）以一系列零结尾，你从10中减去最后一个非零数字，并将尾随零保留。例如：10,000 - 5920 = {9-5}{9-9}{10-2}0 = 4080。对于从以1后跟零组成的数字中减法，这总是有效：100；1000；10,000等等。另一种简单地思考这种方法的方式是，如果从1,000中减去，总是从999中减去，然后加回1。对于10,000，从9999中减去并加1。例如，1000-555 = 999 - 555 + 1= 444 + 1 = 445 同样，10,000 - 1068 = (9999-1068)+1 = (8931)+1 =8932 所以答案是10,000 - 1068 = 8932 对于1,000 - 86，我们有更多的零，而不是被减去的数字，我们只需假设86是086。所以1,000 - 86 变成 1,000 - 086 = 914

使用9的技巧（10的补码加法）处理更大的数字

上面的技巧可以扩展到以下方式处理任意长度的数字：使用上面的九的技巧，从大于减数的下一个十的幂中减去减数，然后将结果加到减数中，但不要进位最终的'1'。

例子

1,254,953-34,064

34,064 通过九的技巧变成 9,965,936（注意，我们在开头用9填充，使其与减数的长度相同）。现在加

11   1 1
 1,254,953
+9,965,936
 1,220,889

再次注意，我们不将左侧最终进位的“1”包含在结果中。

从左到右减法

正常的减法是从右到左执行的，当需要借位时，从左边借位。然而，我们从左到右阅读，数字也是以相同的顺序大声读出，所以能够从左到右减法也很方便。我们可以通过默认预先借位，然后在继续到下一列时（如果需要借位）添加进位来做到这一点。这种技巧还减少了从右到左传播借位时需要进行的脑力劳动量。

例子

 9543
-1992

首先从9中预先借位，剩下8，然后减去千位

  1
 8543
-1992
 7

现在从百位上的15中预先借位，剩下14，然后减去

  11
 8443
-1992
 75

现在从十位上的14中预先借位，剩下13，然后减去

  111
 8133
-1992
 754

最后一列，我们没有可借位的数字，所以我们只需减去。在这种情况下，我们没有得到单个数字，所以我们将它进位到十位

  111
 8133
-1992
 7551

我们完成了！7551是正确的答案。

乘法

0到10的乘法表

0、1和10的规律

你可能已经知道用0、1和10乘法的规律。但如果你不知道，任何数乘以0都是0。任何数乘以1，结果仍然是它本身，任何数乘以10，在末尾加一个零，所以29x10是290

2、4和8的规律

用2乘法只是将一个数字加倍，所以加倍的规律是一样的。用4乘法是加倍两次。所以12x4，可以通过12+12，也就是24，然后24+24，也就是48来找到。同样，用8乘法是加倍三次，所以12x8是12+12，也就是24，然后24+24，也就是48，然后48+48，也就是96。如果你用平方数（可以连续除以2直到到达1，而不涉及分数）乘法，那么这种方法总是有效的。

9的规律

用9乘法有一个特殊的规律。当用一位数乘以9时，答案总是以比该数小1的数字开头，然后另一个数字加起来等于9。这听起来可能很复杂，但让我们看一个例子。如果我们想做9x6，只需让你的第一个数字比6小1，所以我们知道答案将以5开头，然后下一个数字必须加起来等于9，所以当加到5时等于9的数字是4，所以9x6的答案是54。另一种思考这种方法的方式是，你用10乘以该数，然后从乘积中减去该数。如果你这样想，那么这个例子就变成了10x6 = 60，然后60-6 = 54。

5的规律

任何数乘以5的结果都以5或0结尾。一种方法是先乘以10，然后将结果除以2。另一种方法是按5递增计数。

"数字邻居"

如果您不知道某个问题的答案，您可能知道其中一个数字比问题中数字多一个或少一个的答案。例如，如果您不知道7 x 6的答案，您可能知道6 x 6是36，然后您只需再加一个6就能得到42。

乘以较大的数字

当乘以较大的数字时，选择正确的加法运算至关重要。如果您直接将251乘以323，这可能非常困难，但实际上如果采用正确的方法，这是一个非常简单的运算。251x3 + 251x20 + 251x300 看起来很吓人，所以您必须找出最简单的方法。

四舍五入

首先要做的就是看看数字是否接近任何容易计算的数字。在这个例子中，非常方便地，有数字251，它靠近250。所以您只需要做323x250 + 323 - 这样简单得多，但323x250 仍然看起来不太简单。然而，有一种简单的方法可以乘以250，这也可以应用于其他数字。您将数字乘以1000，然后除以4。所以323x1000 = 323,000，除以2得到161,500，再除以2得到80,750。现在这可能看起来并不容易，但一旦您习惯了，以这种方式除以4（或其他较小的数字）就会变得自然，并且只需要一小部分时间。80,750+323 = 81,073，因此您用最少的努力得到了答案，与您原本要做的相比。您不能总是这么容易做到这一点，但始终有用的是按照这种风格寻找更明显的捷径。在某些情况下，更有效的方法是了解一组情况的简单规则。可以找到大量的规则，其中一些将在下面解释。

对于这种乘法，有些人会在脑中算出 251 × 323 = 250 × (320 + 3) + 1 × 323（简单），因为 250 × 320 的乘法并不难：25 × 32 = 25 × 4 × 8 = 100 × 8 = 800（有些人会立即得出这个结果），所以 250 × 320 是 80,000。因此，考虑到所有因素，251 × 323 = 250 × 320 + 250 × 3 + 1 × 323 = 80,000 + 750 +323 = 81,073。

因式分解

如果您认识到一个或两个数字都容易被整除，这是一种使问题变得容易得多的方法。例如，72 x 39 看起来很吓人，但如果看成 8 x 9 x 3 x 13，它就会变得容易得多。首先，将数字按照最难乘的顺序排列。在这种情况下，我建议使用 13 x 8 x 9 x 3。然后将它们逐个相乘。

1. 13 x 8 = 10 x 8 + 3 x 8 = 80 + 24 = 104
2. 104 x 9 = 936
3. 936 x 3 = 2808，这将等于另一个数字

这将等于一个全新的分数

乘以11

要将任何两位数乘以11，我们只需将两个数字的总和放在这两个数字之间。例如：27x11 可以写成 [2][2+7][7]。因此，27x11=297。另一个例子：33x11 可以写成 [3][3+3][3]。因此，33x11=363。为了可视化

 330
+ 33
----
 363

进位：77 x 11 = 847 这涉及一个进位，因为 7 + 7 = 14，我们得到 77 x 11 = [7][14][7]。我们将 14 中的 1 作为进位加到 7 上，得到 77x11=847。类似地，84x11 可以写成 [8][8+4][4]=[8][12][4]。12 中的 1 作为进位加到 8 上，得到 84x11=924。对于三位数乘以11：254 x 11 = 2794 我们将 2 和 4 放在两端。我们将第一对加起来 2 + 5 = 7。我们也将最后一对加起来：5 + 4 = 9。所以我们可以将 254 x 11 写成 [2][2+5][5+4][4]，即 254x11=2794。类似地，909x11 可以写成 [9][9+0][0+9][9]，即 909x11=9999。

乘以99, 999, 9999等

要将数字 A 乘以 99，您可以将 A 乘以 100，然后从结果中减去 A。当数字 A 是两位数或一位数时，结果将是 (A - 1) 后面跟着 (100 - A)。例如，当我们将 65 乘以 99 时，我们得到 6435。类似地，要将数字 A 乘以 999，您可以将 A 乘以 1000，然后从结果中减去 A。当数字 A 是三位数、两位数或一位数时，结果将是 (A - 1) 后面跟着 (1000 - A)。例如，当我们将 611 乘以 999 时，我们得到 610389。这个相同的想法可以用于乘以任何只包含 9 的大数字。

首位数字相同，末位数字加起来为10

假设您要将两个数字相乘，目前只有两个两位数（尽管这些规则可以适用于其他数字），这两个数字的首位数字相同，它们的个位数字之和为 10。例如，87×83（个位数字之和：7+3=10）。您将首位数字乘以比它自身大一的数字（8×9 = 72）。然后将末位数字相乘（7×3 = 21）。然后将第一个答案放在第二个答案的前面，得到答案（7221）。维基百科关于 斯瓦米·巴拉提·克里希纳·提尔塔的吠陀数学 的文章中给出了一个简单的证明。如果个位数字相乘的结果小于10，只需在数字前面加一个零（即，9 变成 09）。例如，59×51 等于 [5×6][9×1]，等于 [30][09]。因此，59×51 = 3009。

将以5结尾的数字平方

这是前面方法的一个特例。去掉 5，将剩余的数字乘以它本身加 1。然后加上 25（与前面部分一样，这是 5x5）。例如，65x65。从 65 中去掉 5，剩下 65 = 6。将 6 乘以它本身加 1，得到 42（6x7 = 42）。加上 25 得到 4225，所以 65x65=4225。例如，45x45 可以写成 [4x5][5x5]，因此 45x45 = 2025

将两位数平方

与其做 14² 或 47² 作为 14x14 或 47x47，更好的方法是

142
= 10 x 1(14 + 4) + (4 x 4)
= 10(18) + 16
= 180 + 16
= 196

换句话说，将个位数字加到数字上，将结果乘以原来十位上的数字（有时您会得到一个十位数字加一的和，例如 47 + 7 = 54，所以在本例中使用 4，而不是 5），在末尾加上一个零，然后加上个位数字的平方。所以

472
= 10 × 4(47 + 7) + (7 × 7)
= 10 × 4(54) + 49
= 10 × 216 + 49
= 2160 + 49 = 2209

现在我们知道 47² 等于 2209。当平方两位数时，如果该两位数仅比以零结尾的数字大 1，你可以使用基本代数公式：(A+1)^2 - (A*2)；或 (A+1)(A) - A；或 (A+1)^2 - 2(A+1) + 1。例如，当平方 99 时：A + 1 = 100 100^2 = 10000 2 * 100 = 200 10000 - 200 = 9800 9800 + 1 = 9801 当平方两位数时，如果该两位数仅比以零结尾的数字小 1，你也可以使用基本代数公式：(A-1)^2 + (A*2)；或 (A-1)(A) + A；或 (A-1)^2 + 2(A-1) + 1。例如，当平方 91 时：91 - 1 = 90 90^2 = 8100 2*90 = 180 8100 + 180 = 8280 8280 + 1 = 8281

当你已知相邻数字的平方时，平方一个数字

当你需要快速计算一个数字的平方时，知道相邻数字的平方非常有用。例如，计算 46 的平方，使用上面的 “5” 规则，你知道 45 的平方是 2025。利用这个数字，将 45+46 (91) 加到 2025，结果是 2116。虽然在脑中加 91 到 2025 并不容易，但它肯定比直接计算 46 的平方更容易。使用相邻已知平方来计算比已知平方小的数字的平方更具挑战性，这取决于你在脑中进行减法运算的舒适程度。对于减法，使用 45 作为我们的基数，尝试计算 44 的平方，我们将从已知的 2025 中减去 44 和 45，得到 1936。这可以用来计算不是直接相邻于已知平方的数字的平方，但它会变得更复杂（在脑中！）。象征性地：如果 b=a+1 并且 a 和 b 是整数，那么 b²=a²+|a|+|b|。

略大于 100

这个技巧适用于两个都略大于 100 的数字，只要两个数字的最后两位数字相乘小于 100。例如，对于 103 x 124，3 x 24 = 72 < 100，所以这个技巧有效。对于 117 x 112，17 x 12 = 204 > 100，所以它无效。如果第一个测试有效，那么答案是

1[最后两位数字的和][最后两位数字的乘积]

例子

• 108 x 109 = 1[8+9][8x9] = 1[17][72] = 11,772
• 105 x 115 = 1[5+15][5x15] = 1[20][75] = 12,075
• 132 x 103 = 1[32+3][32x3] = 1[35][96] = 13,596

如果最后两位数字的加法或乘法结果 < 10，则在数字前面添加一个 0，例如，如果加法结果是 4，则应为 04。下面显示了示例

• 102 x 103 = 1[2+3][2x3]=1[05][06]=10,506

这个技巧适用于略大于 200、300、400 等的数字，只有一个简单的变化

[第一位数字的乘积][(最后两位数字的和) x 第一位数字][最后两位数字的乘积]

例子

• 215 x 204 = [2x2][(15+4)x2][15x4] = [4][19x2][60] = [4][38][60] = 43,860

如果最后两位数字的加法或乘法结果 < 10，则在数字前面添加一个 0，例如，如果加法结果是 4，则应为 04。下面显示了示例

• 201 x 202 = [2x2][(2+1)x2][2x1]=[4][06][02]= 4,0602

对于略大于 1000、2000 等的数字，使用以下方法

[第一位数字的乘积]0[(最后两位数字的和) x 第一位数字]0[最后两位数字的乘积]

例子

• 2008 x 2009 = [2x2]0[(8+9)x2]0[8x9] = [4]0[17x2]0[72] = [4]0[34]0[72] = 4,034072
  • • 2008 x 2009 = 4,034,072

对于每个数量级（x10），在中间添加两个零。

略小于 100

这个技巧适用于所有小于 100 的数字，但在 90 多的数字中更快。例如，96*98

答案将是一个四位数，
[xx][xx].
对于最后两位数字，它是每个乘数与 100 之差的乘积。取第一个数字 96。100-96=4。然后取第二个数字 98。100-98=2。4x2=8。8 将成为我们的最后两位数字，所以是 08。
[xx][08]
前两位数字是任何一个数字减去另一个数字与 100 的差。例如，取第一个数字 96。另一个乘数是 98。100-98=2。所以从 96 中减去 2。96-2=94。如果你选择任何一个数字，你都会得到相同的两位数字。
[94][08]。所以这个等式的答案是 9408。

除法

同样，有很多可能的技巧，但你可以使用以下方法，或者自己研究。所有数字都是素数的乘积（你可以通过将素数相乘得到它们）。如果你要进行除法运算，你可以将你要除以的数字的所有素数乘积除以它，得到答案。这意味着 100/24 = (((100/2)/2)/2)/3。虽然这意味着你必须进行更多步骤，但这些步骤都非常简单。100/2 = 50，50/2 = 25，25/2 = 12.5，12.5/3 = 4⁵/₃₀ = 4¹/₆ = 4.166666666循环小数。此外，另一个有用的技巧是，当你必须先乘以然后除以一个数字时，始终先进行除法，直到你得到互质的数字，然后相乘。这样可以避免数字变得太大。例如，如果你必须进行 (18 * 115)/15，将 115 除以 5，将 18 除以 3，然后将它们相乘更容易，得到 23 * 6 = 138。

乘以倒数

除法等同于乘以倒数。例如，除以 5 等同于乘以 0.2 (1/5=0.2)。要乘以 0.2，只需将数字加倍，然后除以 10。

除以 7

数字 1/7 是一个特殊的数字，等于 $0.{\overline {142857}}$。注意，有六个数字重复，142857。当我们考虑这个数字的整数倍数时，会发生一件很美妙的事情

${\frac {1}{7}}=0.{\overline {142857}}$

${\frac {2}{7}}=0.{\overline {285714}}$

${\frac {3}{7}}=0.{\overline {428571}}$

${\frac {4}{7}}=0.{\overline {571428}}$

${\frac {5}{7}}=0.{\overline {714285}}$

${\frac {6}{7}}=0.{\overline {857142}}$

注意，这七分之六的分数包含相同的六个数字，以相同的顺序无限循环，但从不同的数字开始。但是，在除以七时，这有什么用呢？考虑 207/7 这个问题。首先，我们可以将其转换为 200/7 + 7/7。我们知道 7/7 等于 1，所以答案将是 200/7 + 1。但是 200/7 是多少？它只是 2/7 乘以 100，从上面我们知道 ${\frac {2}{7}}=0.{\overline {285714}}$，所以通过移动小数点，我们知道 ${\frac {200}{7}}=28.{\overline {571428}}$。剩下的就是从 7/7 中添加 1，得到 ${\frac {207}{7}}=29.{\overline {571428}}$.

除以 9

分数 1/9 及其整数倍数相当直接 - 它们只是等于一个小数点，后面跟着分子的一位数，无限循环

${\frac {1}{9}}=0.{\overline {11}}$

${\frac {2}{9}}=0.{\overline {22}}$

${\frac {3}{9}}=0.{\overline {33}}$

${\frac {4}{9}}=0.{\overline {44}}$

${\frac {5}{9}}=0.{\overline {55}}$

${\frac {6}{9}}=0.{\overline {66}}$

${\frac {7}{9}}=0.{\overline {77}}$

${\frac {8}{9}}=0.{\overline {88}}$

要解决 367/9 这样的问题，我们将它简化为

${\frac {367}{9}}={\frac {300}{9}}+{\frac {60}{9}}+{\frac {7}{9}}$

${\frac {367}{9}}=33.{\overline {33}}+6.{\overline {66}}+0.{\overline {77}}$

首先加上 $33.{\overline {33}}+6.{\overline {66}}=40.0$. 然后加上 $40.0+0.{\overline {77}}=40.{\overline {77}}$.

除以 11

分数 1/11 及其整数倍相对简单——它们只是等于小数点后紧跟九与整数倍的乘积，无限循环

${\frac {1}{11}}=0.{\overline {09}}$

${\frac {2}{11}}=0.{\overline {18}}$

${\frac {3}{11}}=0.{\overline {27}}$

${\frac {4}{11}}=0.{\overline {36}}$

${\frac {5}{11}}=0.{\overline {45}}$

${\frac {6}{11}}=0.{\overline {54}}$

${\frac {7}{11}}=0.{\overline {63}}$

${\frac {8}{11}}=0.{\overline {72}}$

${\frac {9}{11}}=0.{\overline {81}}$

${\frac {10}{11}}=0.{\overline {90}}$

${\frac {36}{11}}=3.{\overline {27}}$

根

小于 1,000,000 的立方根

在继续之前，请注意前九个立方数的最后一位数字。1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729

请注意，每个立方数的最后一位数字包含 1-9。

对于每个数字，将其分成两个组。最后三位数字和前面剩余的数字。对于最后三位数字，找到立方根，其立方数以与它相同的数字结尾。那将是最后一位数字。对于前面的几位数字，将其向下取整到先前的立方数，并找到该立方数的立方根。那将是第一位数字。

以“148877”为例。将其分成 2 组：148 和 877。从 877 开始。这个数字以 7 结尾，数字 3 是唯一一个立方数以“7”结尾的数字。因此，最后一位数字必须是 3。

看 148。将其向下舍入到前一个立方数 125。125 的立方根是 5，这是第一位数字。将它们组合起来，答案是 53。

此策略不适用于包含小数的立方根，尽管它会提供近似值。

估计

在心算中快速进行估计的最佳方法是将数字四舍五入到一两位有效数字（即四舍五入到最高位数的最近位），然后进行典型的运算。因此，1242 * 15645 大致等于 1200 * 16000 = 19200000，这与正确答案 19431090 相当接近。在某些情况下，甚至可以简单地将数字四舍五入到最接近的十的幂（当使用很大的误差和很大的数字进行估计时，这很有用）。

范围搜索

有时用与所需方向相反的方向进行计算更容易，这可用于快速估计所需的值。平方根就是一个很好的例子。平方数字比求平方根更容易。因此，您取任何平方等于您想要的数字略大的数字，取另一个平方等于您想要的数字的数字，然后使用这两个数字的平均值。现在，诀窍是应用一个通用的技术（二分法）。我们使用前两个数字的平均值创建一个新的估计值。对该值求平方。如果它的值高于我们想要的，我们将其用作我们范围的上限。如果它低于我们想要的，我们将其用作我们范围的下限。我们现在有一个必须包含我们想要的平方根的新范围。我们可以再次应用相同的过程来获得更准确的值（这被称为迭代）。这种技术在计算中得到了广泛的应用，但对于某些心算也很有用。

其他心算技巧

也许心算中最有用的技巧之一就是记忆。记忆某些数学事实似乎很烦人。但是，当您不必在脑海中进行除法或乘法运算时，它可以极大地加快您的计算速度。一些有用的需要记忆的数学事实包括：完全平方和立方（尤其是 2 的幂）、某些数字的质因数分解以及常用分数的小数等值（例如 1/7 = .1428...）。例如，试图计算 1024/32 要容易得多，因为您知道它本质上与 2^10/2^5 相同。这些中的许多可以通过频繁使用来记忆。因此，掌握心算的最佳方法是练习。记忆 3 x 17 = 51 是个好主意。我们可以将其扩展到 6 x 17 = 102。如果我们将这些数字四舍五入：3 x 17 大致等于 50，6 x 17 大致等于 100，9 x 17 大致等于 150，依此类推。这些在估计中非常有用，因为 3、6、9、50、100 是常见的数字。

高级数学

对相当复杂的公式进行很好的估计是可能的。范围搜索是一种有用的技术。除此之外，您还可以利用许多其他数学规则。

二项式展开

根据二项式定理，我们可以相对容易地展开像这样的方程

${\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!$

如果$x$ 小于 1，这非常有用。在这种情况下，$x$ 的幂越来越小，我们可以忽略它们。即使对于整数和整数，这也是有用的，因为我们可以将问题分成一个较大的数字和一个较小的数字，然后加起来并求幂。较小数字的幂将变得不那么重要。然后我们可以忽略展开式中涉及较小数字的项，从而得到一个合理的估计。例如

$(x+y)^{4}\;=\;x^{4}\,+\,4x^{3}y\,+\,6x^{2}y^{2}\,+\,4xy^{3}\,+\,y^{4}.$

如果 $y$ 的值远小于 $x$，即使我们不添加 $y^{4},$ $4xy^{3}$，或 $6x^{2}y^{2}$ 项，我们也能得到一个很好的估计。

二项式定理再次帮了我们。这里我们通常想要算出以下内容，用于复利计算

$(1+x)^{n}$

其中原始本金为 1，$x$ 是短时间内的利率（例如，如果月利率为 5%，那么 $x=0.05$），而 $n$ 是长时间内的复利频率（例如 12，如果利率是月利率，而总期限是一年）。

使用这个理论，我们可以粗略地估计为

$1+nx+{\frac {n(n-1)}{2}}x^{2}$

尽管这只是一个简单的近似值，但它对较小的 x 仍然适用。

外部链接

• 特拉赫滕贝格快速心算系统维基百科词条