微流体/毛细管效应

毛细管效应在微观尺度上非常重要（参见上一章[Physics_at_smaller_scales]）。

它们出现在液体与另一种物质液体、气体或固体之间的界面。

这些界面产生表面张力，它支配着该界面的动力学。

创建新的界面需要功

E=\sigma \,A,

其中 $\sigma$ 是表面张力（以 N/m 为单位），而 $A$ 是界面的面积。对于 20°C 的水/空气界面，表面张力的值为 $\scriptstyle \sigma =73\times 10^{-3}$ N/m。

这种表面张力会导致一个常见的现象：液滴倾向于变成球形，以最大程度地减少其表面积。

起源：内部粘附能

由于范德华力，液体分子会受到相邻分子的吸引，从而产生液体对自身的粘附能。

两种互不相溶液体（标记为 1 和 2）之间的表面张力值可以通过将创建新的界面分成步骤来理解

步骤 1：分离每种液体内部的自由表面

这需要

\Delta E=\gamma _{11}{\frac {A}{2}}

的能量在液体 1 中，其中

\gamma _{11}

是液体对自身的粘附能。

这种液体内部粘附的来源是范德华吸引力。我们在这里只切断了一半的最终表面。在另一个液体中切割相同的表面需要

\Delta E=\gamma _{22}{\frac {A}{2}}

的能量在液体 2 中。

步骤 2：组装自由表面

扁平化自由表面会产生一个新的表面 $2\times A/2=A$ 。它们的组装会产生一个功

\displaystyle \Delta E=-\gamma _{12}A,

其中 $\gamma _{12}$ 是液体 1 在液体 2 上的粘附能。

总的来说，我们得到一个总功 $\Delta E=\gamma _{11}{\frac {A}{2}}+\gamma _{22}{\frac {A}{2}}-\gamma _{12}A.$

因此，表面张力的值为

\sigma ={\frac {1}{2}}\gamma _{11}+{\frac {1}{2}}\gamma _{22}-\gamma _{12}

杨-拉普拉斯定律：表面张力如何产生压力

在机械平衡状态下，球体半径的微小变化 $dR$ 不会产生任何功（力保持平衡）。

\delta W=-\Delta PdV+\sigma dA=0

从这个公式我们可以得出，球体的内部压力比外部压力高

\Delta P={\frac {2\sigma }{R}}

举个例子，我们计算一下水里一个半径为 1 微米的泡泡的毛细压力：它大约是 1.4 个大气压！

这个公式可以推广到任意曲面

\Delta P=\sigma ({\frac {1}{R_{1}}}+{\frac {1}{R_{2}}}),

其中 $R_{1}$ 和 $R_{2}$ 是主平面上的曲率半径。

表面张力可以使圆柱形射流断裂

Write a section about the capillary instability ??

固体表面的润湿

在**接触线**附近，三个界面相遇

液-气界面，具有表面张力 $\sigma _{liquid-gas}$ ，之前记为 $\sigma$
固-液界面，具有表面张力 $\sigma _{solid-liquid}$
固-气界面，具有表面张力 $\sigma _{solid-gas}$

力的平衡，是力的矢量和为零。在水平轴上，它提供了接触线处的**杨-杜普雷关系**

\sigma _{solid-liquid}+\sigma \cos \theta =\sigma _{solid-gas},

这里我们引入了 **接触角** $\theta$ 。沿着垂直轴，我们有

\sigma \sin \theta =N,

$N$ 是固体表面的反作用力。这清楚地表明液滴正在拉动表面。这种效应可以在将液滴沉积在新鲜油漆上时观察到：接触线会拉动一个边缘，该边缘会保留下来。

接触线仅在以下情况下存在

-1<\cos \theta ={\frac {\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid}}{\sigma }}<1

因此有三种情况

完全润湿

液体扩散并形成覆盖表面的薄膜。当 $(\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid})/{\sigma }>1$ 时，则 $\sigma _{solid-gas}>\sigma _{solid-liquid}+\sigma$ ，保持裸露的固体需要大量的能量。

部分润湿

接触线的存在条件得到满足， $-1<(\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid})/{\sigma }<1$ 。可以区分两种情况

亲水表面： $0<\theta <90^{\circ }$
疏水表面： $90^{\circ }<\theta <180^{\circ }$

不润湿

液滴呈珠状，并呈现完美的球形。它发生在表面，使得 $(\sigma _{solid-gas}-\sigma _{solid-liquid})/{\sigma }<-1$ 时，则 $\sigma _{solid-liquid}>\sigma _{solid-gas}+\sigma$ ，固体不喜欢被覆盖。

这些表面可以在自然界中找到：观察水滴落在荷叶上的情况。在显微镜下，这些表面覆盖着微小的柱状物。

在具有表面张力梯度的表面上驱动液滴

固液表面能的外部改变将提供力来移动小液滴。液滴方向可以使用表面能的梯度来印记。

热润湿

固液表面能随温度升高而增加。

{\frac {d\sigma _{solid-liquid}}{dT}}>0

如果加热非常局部，则液滴的较热侧在表面能方面将变得更加昂贵。液滴将倾向于通过移动到较冷侧来最小化其表面能。

电润湿

如果表面是电极，另一个电极与液滴接触，则可以对液滴施加电压。电压差 $V$ 通过以下方式改变表面能

\sigma _{solid-liquid}^{EW}=\sigma _{solid-liquid}-c{\frac {V^{2}}{2}},

其中 $c$ 是表面电容。

如果液滴只有一侧位于电极上，则液滴将朝向电极移动，因为那里的表面能更低。

请注意，电极可以绝缘以防止液体的电解：该技术称为介电电润湿 (EWOD)。

在通道中驱动液滴或气泡，作用于表面张力

即使液体完全润湿固体，也可以移动夹在微通道中的液滴或气泡。该方法是修改液气表面张力（而不是固液表面张力）。

热毛细管驱动

加热液体会降低其表面张力（这与固液表面张力相反）。

{\frac {d\sigma _{liquid-gas}}{dT}}<0

一侧比另一侧更热的细长液滴或气泡将朝着更热的地方移动以减少总能量。

电毛细管驱动

如果液滴/气泡在与电极接触后在其表面带电，则如果它处于电压梯度下，它可以在之后移动。当电荷更靠近带有相反电荷的电极时，液滴的电势会降低。

表面活性剂

分子

表面活性剂是具有表面亲和力的分子。它们改变表面张力，因此被称为表面活性分子。通常它们是两亲分子。amphi- 是一个希腊前缀，也出现在单词 amphitheater 中，意思是双重。事实上它们既有亲水部分又有疏水部分。例如，肥皂分子具有羧基（亲水头）和长脂类（疏水链）。在低浓度下，它们都会在界面处，而在高浓度下，它们会倾向于形成胶束。

Draw a cartoon with surfactants at surface and in a micelle ??

对表面张力的影响

与水相比，它们会降低表面张力。自由表面具有张力 $\sigma$ =73 mN/m。当表面完全被表面活性剂分子覆盖，并呈现其脂类尾部到气体时，表面张力会降低到一个平台。此时表面张力接近脂类表面的张力，约为 30 mN/m。饱和发生在临界胶束浓度 (CMC) 时，当表面充满时，添加的分子会在液体中形成新的胶束。

洗涤剂

表面活性剂具有洗涤剂作用：它们覆盖脂类液滴的表面，这有助于通过有利于在液滴和基底（布料！）之间形成水膜来促进分离。

稳定剂

Draw  a cartoon showing a liquid film in between two droplets/bubbles ??

表面活性剂可以防止乳液中分离液滴或泡沫中分离气泡的薄液膜破裂。它们可以稳定肥皂泡的薄液膜！

微流控电路中的液滴和气泡形成

喷墨打印机涉及形成微小的墨滴。微小的液滴或气泡是很有前景的纳升容器：它们没有真正的壁，只包含非常少量的液体。可以创建它们，运输它们，最后与其他液滴或气泡合并。

第一个基本操作是液滴形成。

人类规模

我们都见过水龙头出口处形成的液滴。如果你慢慢打开水龙头，液滴体积会增加，直到它的重量大于毛细力。然后液滴就会脱离并落下。存在的力是

毛细力的大小为 $2\pi R_{tap}\sigma ,$ 其中 $R_{tap}$ 是水龙头出口处的半径
重力的大小为 $4\pi r_{droplet}^{3}/3,$ 其中 $r$ 是液滴的大小。

当液滴的半径 $r_{droplet}$ 使得重力至少等于毛细力时，液滴就会脱离。我们得到

r_{droplet}\sim \left({\frac {R_{tap}\sigma }{\rho g}}\right)^{1/3}

减小水龙头的半径并不会迅速减小液滴的半径，并且在小尺度上，液滴在水龙头半径的前面变得非常大。我们再次看到，在小尺度上，重力在毛细力面前变得无效。

应该考虑另一种不涉及重力的策略。

在T形连接处辅助形成

 (Drawing)

可以使用流体动力学，即粘性力来主动实现形成。

当流体A从一个垂直的支路进入主通道时，如果流体B在流动，这种流体的液滴可以被分离。大小由以下两者之间的平衡决定：

形成半径为 $R$ 的液滴所需的毛细压力，其大小为 $\sigma /R$
流体B在宽度为 $h$ 的通道中流动的粘性应力，其大小为 $\mu \nabla v\sim \mu U/h$

因此，相应的液滴半径为

R\sim {\frac {\sigma }{\mu U_{0}}}h

通过流体动力学聚焦辅助形成

(Drawing)

另一种几何形状有助于产生非常校准的液滴尺寸：要断裂的流体A通过尺寸为 $d$ 的小孔被流体B的流束聚焦。两种流体不会同时通过小孔（只有在非常大的速度下才会出现这种情况）。当流体的流速被施加时，断裂涉及两个步骤

阻塞：当流体A在小孔中时，它会对流体B形成一个塞子
挤压：流体B中会积聚压力，并夹住流体A，直到破裂，释放一个液滴

最后一步需要一个特征时间 $\tau \sim d^{3}/Q_{B}$ ，其中 $Q_{B}$ 是流体B的流速。在此时间内膨胀的流体A的体积决定了液滴的体积

V\sim \tau Q_{A}\sim {\frac {Q_{A}}{Q_{B}}}d^{3}

由于流动是层流（雷诺数小），因此它具有很高的可重复性，并且时钟般的机制产生了非常准确的尺寸。

毛细管不稳定性辅助

这种方法包括形成圆柱形射流。它在高度很小的平面微通道中并不真正可行，但可以在喷墨打印机中使用。