微流体/流体动力学方程

流体的运动可以通过应用力学的基本定律来描述，该定律被称为牛顿第二定律，但不是作用于一个点粒子，而是作用于一个流体。

流体微元

流体微元的适用范围

流体微元是指一个体积，它足够大以包含平滑的分子变化，但与系统大小相比却很小。它具有介观性质，介于微观（分子）和宏观描述之间。可以使用连续介质方法。

在液体中，流体微元的大小可以大于分子，小于微米通道。

在气体中，平均自由程$\lambda$可能不小于微系统尺寸，需要一种特定的方法。

连续介质方法允许将以下内容定义为空间位置$\mathbf {r}$和时间$t$的函数

• $\rho (\mathbf {r} ,t)$，密度（单位 kg/m^3）
• $\mathbf {u} (\mathbf {r} ,t)$，速度（单位 m/s）

质量守恒

它写成

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0$

对于不可压缩流体（液体几乎是这种情况，气体在速度远小于声速的情况下也是如此），$\rho =\mathrm {cst}$，质量守恒意味着一个特定的无散度的流场，$\scriptstyle div(\mathbf {u} )=0$.

流体内的力

带有外向法线的体积元

流体中存在两种类型的力

• 各向同性法向力：压力。它们提供了一个分量

$d\mathbf {f} =-p\,\mathbf {n} \,dS$作用在一个小的表面元素$dS$上，$\mathbf {n}$是体积元的外向法线。

• 剪切力：由于内部摩擦，它们提供了一个分量

$d\mathbf {f} =\mathbf {\tau } \,.\,\mathbf {n} \,dS$，其中$\mathbf {\tau }$是剪切应力张量。

对于牛顿流体，剪切应力张量分量由下式给出

$\tau _{ij}=\mu \left({\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial u_{j}}{\partial x_{i}}}\right)$

其中，$\mu$ 表示粘度。

	粘度 $\mu$ (Pa.s 或 kg/m·s) 在 20°C 时
空气	$\scriptstyle 1.8\times 10^{-5}$
水	$\scriptstyle 1\times 10^{-3}$
橄榄油	$0.1$
甘油	$0.85$

纳维-斯托克斯方程

对于牛顿流体，纳维-斯托克斯方程可以写成：

$\rho \left({\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} \right)=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {f}$

等式左侧第二项来自于流体的惯性。它是一个非线性项，产生历史依赖效应，在人类尺度或更大尺度上非常明显。

• 漩涡、龙卷风
• 湍流
• 推进力

然而，在微观尺度上，惯性被粘性效应（等式右侧第二项）所抑制，而粘性效应是占主导地位的。雷诺数 提供了惯性力与粘性力之比的估计：如果流体的典型速度为 $u$，典型尺寸为 $l$

$R\!e={\frac {\rho ul}{\mu }}$.

在微观尺度上，$R\!e\ll 1$，第二项 $\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u}$ 可以忽略，纳维-斯托克斯方程简化为斯托克斯方程。该方程是线性的，更容易求解。

$\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}=-\nabla p+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} +\mathbf {f}$

这些方程的速度场解在施加的应力中是线性的，这意味着

• 该解是唯一的（而完整的 Navier-Stokes 方程会导致湍流和不稳定性）
• 当力的方向反转时，解也反转：在小尺度上不可能创建流体“二极管”

还可以证明，该解使总耗散功率最小化。

边界条件

当给出流体表面的边界条件时，可以求解运动方程。

对于通常的液体

存在无滑移边界条件，$\mathbf {u} =\mathbf {0}$在表面上

对于气体，以及某些非润湿液体

对于气体，克努森数将平均自由程与流动的典型长度尺度进行比较。

$Kn={\frac {\lambda }{l}}$

对于 $Kn<0.003$，连续介质方法仍然有效，界面处无滑移。对于 $Kn>0.01$，需要分子方法。对于中间数 $0.003<Kn<0.01$，Navier-Stokes 仍然成立，但在固体表面存在滑移，由 Navier 长度 $L_{s}$定义，使得流体的滑移速度为

$u_{s}=L_{s}{\frac {\partial u_{x}}{\partial z}}$

其中 $z$ 为到表面的距离。通常 $L_{s}\simeq \lambda$

对于液体，争论仍在继续...

参考文献

• Etienne Guyon, Jean-Pierre Hulin, Luc Petit, Catalin Mitescu (2001). Physical Hydrodynamics. Oxford University Press. ISBN 10- 0198517459 .{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Stéphane Colin (2004). Microfluidique. Hermès science. p. 54. ISBN 10- 2746208156 .