微流体/水力阻力和容量

我们在这里介绍一些简单的工具来计算复杂通道网络中的流动，只需要知道施加的压力。

水动力阻力

通道中的流速 $Q$ 与施加的压降成正比 $\Delta P$ 。这可以总结为

\Delta P=R_{h}Q,

其中 $R_{h}$ 为水动力阻力。该表达式形式上类似于电压差和电流之间的电动力学定律 $U=RI$ .

水力阻力的表达式为

圆形截面通道（总长度 $L$ ，半径 $R$ )

R_{h}={\frac {8\mu L}{\pi R^{4}}}

矩形截面（ $\mu$ 是流体粘度，宽度 $w$ 和高度 $h$ ，表达式在 $h<w$ 时有效）^[1]

R_{h}\approx {\frac {12\mu L}{wh^{3}(1-0.630h/w)}}

在通道网络中，可以计算等效电阻（如在电动力学中）

两个串联通道的电阻为 $R_{h}=R_{h1}+R_{h2}$ ，
两个并联的通道具有 $1/R_{h}=1/R_{h1}+1/R_{h2}.$ 的阻力。

这些定律为复杂网络的设计提供了有用的工具。实际上，基尔霍夫电路定律适用，并进行了修改。

电路节点上的流量之和为零
回路上的压力差之和为零

流体动力电容

通道中的流体体积可能会发生变化，仅仅是因为压力的变化：这可能是由于流体可压缩性或通道弹性造成的。这种行为可以用以下公式总结

Q=C_{h}{\frac {d\Delta P}{dt}}

其中 $C_{h}$ 是流体动力电容。它是电动力学定律 $I=C\,dU/dt$ 的微流体模拟。

容器中的可压缩流体

压力增加会压缩容器中的流体。可压缩性由以下公式测量

K_{fluid}=-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial P}}.

对于水，其值为 $K=4.6\times 10^{-5}/bar$ ，通常可以忽略，因为压力通常小于 1 巴。对于空气，其值为 $K=1/P=1/bar$ ，如果压力达到 1 巴，则相当可观。

由于流体压缩 $d\Delta P/dt$ ，流入体积为 $V$ 的管道的流量为

Q=-{\frac {dV}{dt}}=V\left(-{\frac {1}{V}}{\frac {\partial V}{\partial P}}\right){\frac {d\Delta P}{dt}}=K_{fluid}V{\frac {d\Delta P}{dt}}

因此，流体动力电容为

C_{h}=K_{fluid}V

弹性管

我们将管道的膨胀性定义为

K_{tube}={\frac {1}{V_{tube}}}{\frac {\partial V_{tube}}{\partial P}}

它有一个正号，因为管子的体积随着压力的增加而增加。

管道的膨胀率大约是杨氏模量的倒数 $K\simeq 1/E.$ 下表给出了不同材料的膨胀率数量级

	$K_{tube}$
钢	$\scriptstyle 0.5\times 10^{-6}$ /巴
塑料	$0.01$ /巴
橡胶	$0.1$ /巴

这个值可以这样解释：如果压力增加 1 巴，则相对体积增加 $K_{tube}$

假设管内压力均匀（在长管中并不如此，因为压力会大幅下降），我们发现进入管道的流量为

Q={\frac {dV_{tube}}{dt}}=K_{tube}V{\frac {\Delta P}{dt}}

因此，流体动力电容为

C_{h}=K_{tube}V.

具有显著压降的弹性长管建模

我们考虑一个长度为 $L$ 的管道，在该管道上施加压差 $\Delta P$ 。在管道中，压力沿管道坐标 $x$ 降低为 $P(x)=P_{0}+(1-x/L)\Delta P$ 。因此，膨胀不均匀：在入口附近较大。管道体积的增加（与压力 $P_{0}$ 下的静止状态相比）为

\Delta V=\int _{0}^{L}\left(1-{\frac {x}{L}}\right)\Delta P\;K_{tube}{\frac {dx}{L}}V_{tube}={\frac {\Delta P}{2}}K_{tube}V.

我们已经集成了小体积的膨胀 $dx/L\times V_{tube}$ 。

我们得到膨胀引起的流量为

Q={\frac {d\Delta V}{dt}}=C_{tube}{\frac {d\Delta P/2}{dt}}

也就是说，只有压力差的一半加载了体积电容。电容放置在通道的中间，那里超压为一半，见图。

应用：微通道中的注射器注射

注射器可以看作是直径为 $R$ ，体积为 $V$ 的管子，而圆柱形微通道的直径为 $r\ll R$ ，体积为 $v\ll V$ ，长度为 $l$ 。微通道的阻力 $R_{v}=8\mu l/\pi r^{4}$ 远大于注射器的阻力： $R_{v}\gg R_{V}$ 。但是注射器的电容通常大得多： $C_{V}\gg C_{v}$ ，这是由于壁的表面积很大（如果壁是弹性的），以及由于注射器的体积大得多（如果液体是可压缩的）。