微流体/混合

将溶质中的分子混合是生物分析或化学反应中至关重要的操作。我们将在本章中看到微流体的一个特性：混合时间很长。

液体中扩散的起源：布朗运动

在液体中，所有分子由于温度而处于激发状态。因此，嵌入液体中的大分子会受到周围分子持续的水冲击。这些冲击是随机的，并产生随机方向的步进运动。

为了理解这种随机运动的影响，我们考虑一个一维模型（沿一个轴），其中随机步进具有有限大小$\ell$，并且以周期$\Delta t$定期发生。

第 i 个随机步进是$\ell _{i}=\pm \ell$，正负号出现的概率相等，因此步进的平均值为$\langle \ell _{i}\rangle =0$.

N 步后的位置为

$X=\sum _{i}^{N}\ell _{i}$

平均值为

$\langle X\rangle =\sum _{i}^{N}\langle \ell _{i}\rangle =0$

这意味着平均而言，粒子在相同的位置附近。但是方差为

$\langle X^{2}\rangle =\langle (\sum _{i}^{N}\ell _{i})^{2}\rangle =\langle \sum _{i}^{N}(\ell _{i})^{2}+2\sum _{i<j}\ell _{i}\ell _{j}\rangle =N\ell ^{2}$

因为$\langle \ell _{i}^{2}\rangle =\ell ^{2}$，并且$\langle \ell _{i}\ell _{j}\rangle =\langle \ell _{i}\rangle \langle \ell _{j}\rangle =0$，对于不相关的事件。

回顾一下，步数与总经过时间的关系为 $N=t/\Delta t$，我们有 $\langle X^{2}\rangle =Dt$，其中 $D$ 是扩散系数，其值在这里为 $D=\ell ^{2}/\Delta t$。

因此，一个分子探索的标准偏差距离为 $\sigma =\langle X^{2}\rangle ^{1/2}\sim (Dt)^{1/2}$。

类似地，一组分子（例如染料斑点）的扩散方式类似于 $\sigma \sim (Dt)^{1/2}$

扩散系数

在液体中，半径为 $R$ 的颗粒的扩散系数由斯托克斯-爱因斯坦公式给出。

$D={\frac {kT}{6\pi \mu R}}$

该公式的证明来自具有两个主要物理成分的粒子运动解：由 $m\langle u^{2}\rangle /2=kT/2$ 给出的波动速度，以及值为 $F=6\pi \mu Ru$ 的摩擦力。

因此，小分子扩散更快

Table with values??

许多分子以浓度 $C(\mathbf {r} ,t)$ 为特征，浓度是每单位体积的数目。

微系统中的扩散很慢

两个共流运动

两股以相同速度流动的流体在扩散区相互混合，扩散区会随着时间推移不断增大。

混合区会随着时间推移而增长。

$\delta \sim {\sqrt {Dt}}$

当混合区达到通道宽度时 ($\delta =w$)，通道将完全混合。此时流体移动的距离为 $Z=Ut=Uw^{2}/D$，经过的时间为 $t=w^{2}/D$。

完全混合两种流体所需的通道宽度数量定义了佩克莱数 $Pe$ ${\frac {Z}{w}}={\frac {Uw}{D}}\equiv Pe$，反映了对流和扩散比率的重要性。

例如，在一个 100 微米宽的通道中，以 100 微米每秒的速度流动的蛋白质，其佩克莱数 Pe=250：需要非常长的通道才能混合这些流体！

利用混沌进行主动混合。

“错列人字形”微混合器。

沟槽通道促进螺旋流动。显示了两个横截面，展示了沟槽引起的流体交替方向。

螺旋形沟槽可以在系统中诱发流体滚动。交替的流体方向促进流体元素的拉伸和折叠，进而导致混沌混合。就像在面包师变换中一样，流体层的典型厚度随时间呈指数下降。

$w_{eff}=w_{0}/2^{N}$,

其中 $N$ 为循环次数。

参考：Stroock, Dertinger, Ajdari 等人，Science 295, 647 (2002)

交叉微混合器。

交叉微混合器通过交替的二次流创建混沌混合。

这种微混合器非常高效，但需要驱动外部交替流。

参考：F. Okkels 和 P. Tabeling，Physical Review Letters 92, 038301 (2004)