微流体/小尺度流体物理学

流体中的微观尺度

• 液体中分子之间的距离

$d\sim 0.1\;\mathrm {nm}$

• 气体中分子之间的距离

$d\sim (1/\rho )^{1/3}\sim (kT/P)^{1/3}\sim 3\;\mathrm {nm}$

• 气体中碰撞之间的平均自由程，环境压力下的空气

$\lambda =kT/{\sqrt {2}}\pi \delta ^{2}P\simeq 61\;\mathrm {nm}$, 其中 $\pi \delta ^{2}$ 是有效碰撞截面。

液体中感兴趣的物体的大小，例如生物元素

• 蛋白质，膜脂类分子：1 纳米
• 病毒：10 纳米
• 细胞：1-10 微米

力的等级制度

• 物体的大小：$l^{1}$
• 表面：$l^{2}$
• 体积和质量：$l^{3}$

当尺寸减小时，表面积与体积之比增加。

力的重要性，作为距离 $d$ 或物体尺寸 $l$ 的函数

分子之间的范德华力	$d^{-7}\,$
表面之间的范德华力	$d^{-3}\,$
毛细力	$l^{1}\,$
肌肉力量	$l^{2}\,$
重力	$l^{3}\,$
磁力	$l^{3}\,$
介电泳力	$l^{3}\,$

当尺寸减小时，表格开头的影响会越来越明显。

自然界中力的等级制度的例子

昆虫可以在水上行走

水黾利用表面张力行走

表面张力作用于腿部的周长

这些昆虫的腿上出现了一个接触线。腿部表面是疏水的，因此表面向下弯曲，从而产生向上的张力。

典型的腿部直径为 l，我们可以估计力的强度

• 毛细管力按 $\sigma \pi l$ 的比例缩放，其中 $\sigma$ 是表面张力，一个单位长度的力，其值为 $\sigma =70.10^{-3}\mathrm {N/m}$
• 重量按 $\rho gl^{3}$ 的比例缩放

因此，重量在特征长度尺度上与毛细管力相当

$l^{*}={\sqrt {\frac {\sigma }{\rho g}}}\simeq 3\,\mathrm {mm}$

在这个长度以下，毛细管力占主导地位。\\

更小但更强

你能举起多少个和你一样大小的人？

肌肉的结构在动物界是普遍存在的，具有相似的直径为 $l_{0}$ 的纤维。每根纤维可以施加最大力 $f$。纤维的数量为 $\scriptstyle l^{2}/l_{0}^{2}$

• 因此，肌肉施加的肌肉力按以下比例缩放

$F\sim Pl^{2}\,$

其中 $\scriptstyle P=f/l_{0}^{2}$ 是纤维施加的最大应力。它是一个“自然”常数，与大小无关。它可以为人估算为 $\scriptstyle P\sim F/l^{2}=100\;\mathrm {N} /10\;\mathrm {cm} ^{2}\simeq 10^{4}\;\mathrm {N.m^{-2}}$，我们计算了肌肉施加的典型力除以其典型截面积。

• 重量按以下比例缩放

$W\sim \rho gl^{3}\,$

因此，您可以举起的 人数为

$N={\frac {F}{W}}={\frac {P}{\rho gl}}={\frac {H}{l}}$

其中 $H\simeq 1\;\mathrm {m}$ 是一个与尺寸无关的常数。

人类（l~1m）能举起1个人，小蚂蚁（l~1mm）能举起1000个人！

注意，这种力量是由一种特殊的蚂蚁用来跳跃的。这些蚂蚁用相当于自身重量300倍的力量撞击地面，并将自己弹射到10厘米高的地方。

微流体中的无量纲数

雷诺数

$Re={\frac {\rho UR}{\mu }}$

其中 $\rho$ 是密度，U 是速度，R 是通道尺寸，$\mu$ 是粘度

佩克莱特数:

定义了扩散传递与对流传递的比率。

$Pe={\frac {RU}{D}}$

其中 D 是扩散系数。

克努森数

定义了微观尺度和纳米尺度之间的过渡。

$Kn={\frac {\lambda }{L}}$

其中 $\lambda$ 是粒子/分子的平均自由程，L 是系统中的距离。

邦德数

定义了重力或表面张力的主导作用。

$Bo={\frac {R^{2}}{\lambda ^{2}}}$

其中 R 是两种流体之间的界面或通道尺寸的曲率半径。

$\lambda ={\sqrt {\frac {\sigma }{\Delta \rho g}}}$

其中 $\sigma$ 是表面张力，$\Delta \rho$ 是密度的差异，g 是重力加速度。