现代物理学/引力红移

红移

用于解释引力红移的时空图。

在引力场中较低层级发射的光，在传播到较高层级时，其频率会降低。这种现象被称为引力红移。

我们可以利用等效原理来理解这种现象。处于引力场中相当于处于一个加速的参考系中，因此了解多普勒效应在这种参考系中的工作原理，就能告诉我们它在引力场中的工作原理。

如上图所示，我们从非加速或惯性参考系观察光的发射和吸收过程。在这个参考系中，光的观察者正在向右加速，由弯曲的红色世界线表示，这相当于向左的引力。

光在 A 点以频率 $\omega$ 被一个在这个瞬间静止的源发射。在这个瞬间，观察者在这个参考系中也处于静止状态。然而，当光到达观察者时，他们已经有了向右的速度，这意味着观察者测量出光的多普勒频移频率为 $\omega '$。由于观察者正远离光源，因此 $\omega '<\omega$，如上图所示。

相对论多普勒频移由下式给出：

${\frac {\omega '}{\omega }}={\sqrt {\frac {1-U/c}{1+U/c}}},$

因此我们需要计算 U/c。观察者在 B 点的同步线穿过原点，因此由线段 OB 给出。这条线的斜率为 U/c，其中 U 是观察者在 B 点的速度。从图中我们可以看到，这个斜率也由 X' /X 的比率给出。

将这些等式合并，用 L = √(X² - X′²) 代替 X，这是观察者与原点之间的不变距离，并代入到之前的方程式中，得到我们的引力红移公式：

${\begin{matrix}{\frac {\omega '}{\omega }}&=&{\sqrt {\frac {X-X'}{X+X'}}}&=&{\sqrt {\frac {(L^{2}+X'^{2})^{1/2}-X'}{(L^{2}+X'^{2})^{1/2}+X'}}}\\&=&{\frac {(L^{2}+X'^{2})^{1/2}-X'}{L}}&=&{\frac {X-X'}{L}}\end{matrix}}$

如果 X′ = 0，则没有红移，因为光源与观察者共址。另一方面，如果光源位于原点，则 X′=X，多普勒频移频率为零。此外，光永远不会到达观察者，因为世界线与穿过原点的光世界线渐近。如果光源在引力场中比观察者处于更高层级，使得 X′ < 0，则频率会移到更高的值，即变为蓝移。

为了观察这种多普勒频移如何与重力强度 g 和光源与观察者之间距离 h 相关联，首先注意：

$L={\frac {c^{2}}{g}}\qquad X-X'=L-h$

进行这些替换得到：

${\frac {\omega '}{\omega }}=1-{\frac {gh}{c^{2}}}\qquad (1)$

所以红移与重力成正比。

由于这种多普勒频移不依赖于波的类型，我们可以得出结论，它实际上是由时间膨胀引起的，就像由于相对运动引起的多普勒频移一样。

也就是说，重力减慢了时间。

能量和频率

在公式 1 中，gh 是重力势能的变化，因此频率的变化与势能的变化成正比，这表明可能与能量守恒有关。

但是，由于我们还没有确定频率和能量之间的任何关系，我们不能简单地应用能量守恒论证。相反，我们可以反向论证，找出能量守恒时能量-频率关系必须是什么。

假设我们有两个相同的系统，它们都静止在一个均匀的重力场 g 中，初始能量为 E，并被垂直距离 h 隔开。

该系统具有质量 E/c²，因此它具有势能，因此两个系统的总能量最初为

$E_{i}=2E-{\frac {gh}{c^{2}}}E$

其中第二项是由于较低系统的势能较低。

较低的系统发射一束波，频率为 ω，能量为 E(ω)。当这束波到达较高的系统时，这些波已经红移到频率 ω'，能量为 E(ω')。这种能量被较高的系统吸收。

现在总能量为

$E_{f}=E-E(\omega )+E+E(\omega ')-\left(E-E(\omega )\right){\frac {gh}{c^{2}}}$

由于我们要保持能量守恒，这两个方程必须给出相同的结果。将它们等同起来，我们得到

$E(\omega ')=E(\omega )(1-{\frac {gh}{c^{2}}})$

将此与多普勒频移进行比较，我们看到

${\frac {E(\omega ')}{E(\omega )}}={\frac {\omega '}{\omega }}$

这只有在 E(ω) 与 ω 成正比时才成立

即，能量守恒意味着 能量与频率成正比，这是量子理论的公理之一。

我们同样可以从量子结果开始，证明重力红移必须存在。任何一个理论都需要另一个理论才能保持一致。

由于能量和频率都是四维矢量的时间分量，它们成正比意味着四维矢量本身及其空间分量也成正比。因此，对于波来说，动量与 k 成正比。

还要记住，我们之前在研究哈密顿方程时看到，如果能量与频率成正比，动量与波数成正比，那么在几何光学极限内，经典力学将等同于各向异性波理论。这种比例关系不仅是能量守恒所必需的，它还可以使统一波和粒子的理论成为可能。

所有这些并没有真正证明这种比例关系，需要实验才能证明这一点，但它确实使它成为一个自然的假设，而且这种假设确实得到了实验的证实。

由于所有这些原因，从现在开始，我们将假设能量和频率以这种方式相关，比例常数为 $\hbar$

$(c\mathbf {p} ,E)=\hbar (c\mathbf {k} ,\omega )$

重力和曲率

重力红移还意味着空间是弯曲的。我们可以通过考虑时空中的一个矩形来观察这一点。

没有重力，如果我们从某个点 A 出发，等待时间 t，然后以光速向右移动距离 h，我们就会到达与我们以光速移动距离 h 然后相对于 A 静止等待时间 t 相同的位置 B。

有了重力，如果我们遵循第一条路径，我们会上升距离 ct，然后等待时间 t。在第二条路径上，我们首先等待时间 t，但这段时间被重力膨胀了。对于 B 处的观察者来说，我们会先等待时间 t(1+gh/c²)，然后才开始移动，所以我们最终到达 B 的时间比第一条路径要晚。

因此，有了重力，我们以何种顺序添加距离向量就会产生影响。如果空间是平坦的，这种情况就不会发生，所以 空间一定是弯曲的。

为了描述它如何弯曲，我们需要广义相对论的技术。

外部链接

• 庞德-雷布卡-斯奈德实验