现代物理学/不均匀哑铃

哑铃的动能和角动量可以分成两部分，一部分与哑铃质心的运动有关，另一部分与哑铃相对于其质心的运动有关。

为此，我们首先将位置向量分成两部分。质心位于。

\mathbf {R} ={\frac {M_{1}\mathbf {r} _{1}+M_{2}\mathbf {r} _{2}}{M_{1}+M_{2}}}

因此我们可以定义新的位置向量，表示质量相对于质心的位置，如图所示。

\mathbf {r} _{1}^{*}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} _{1}\quad \mathbf {r} _{1}^{*}=\mathbf {r} _{1}-\mathbf {R} _{1}

总动能为

{\begin{matrix}K&=&{\frac {1}{2}}M_{1}V_{1}^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}V_{2}^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}M_{1}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{1}^{*}|^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{2}|\mathbf {V} -\mathbf {v} _{2}^{*}|^{2}\\&=&{\frac {1}{2}}(M_{1}+M_{2})V^{2}&+&{\frac {1}{2}}M_{1}{v_{1}^{*}}^{2}+{\frac {1}{2}}M_{2}{v_{2}^{*}}^{2}\\&=&K_{ext}&+&K_{int}\\\end{matrix}}

这是哑铃的动能之和，如果两个质量都集中在质心，即平动动能，以及如果从质心静止的参考系观察到的动能，即转动动能。

总角动量也可以类似地分解

{\begin{matrix}\mathbf {L} &=&\mathbf {L} _{orb}&+&\mathbf {L} _{spin}\\&=&(M_{1}+M_{2})\mathbf {R} \times \mathbf {V} &+&(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*})\end{matrix}}

分解成系统如果所有质量都集中在质心，即轨道角动量，以及绕质心的运动角动量，即自旋角动量。

因此，我们可以假设质心是固定的。

由于ω足以描述哑铃的运动，它应该足以确定角动量和内能。我们将尝试用ω来表达这两个量。

首先，我们使用前面的一些结果

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} \quad {\mbox{and}}\quad \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

为了用角速度表示角动量，我们将其写成

${\begin{matrix}\mathbf {L} &=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times \mathbf {v} _{1}^{*}&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times \mathbf {v} _{2}^{*}\\&=&M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{1}^{*})&+&M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} _{2}^{*})\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot \mathbf {r} _{1}^{*}\right)-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot \mathbf {r} _{2}^{*}\right)-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&M_{1}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{1}^{2}-\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)&+&M_{2}\left({\boldsymbol {\omega }}d_{2}^{2}-\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\\&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2}){\boldsymbol {\omega }}&-&\left(M_{1}\mathbf {r} _{1}^{*}\left(\mathbf {r} _{1}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)+M_{2}\mathbf {r} _{2}^{*}\left(\mathbf {r} _{2}^{*}\cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\right)\end{matrix}}$

角动量中的第一项与角速度成正比，正如预期的那样，但第二项则不然。

如果我们看一看L的各个分量，就会更加清楚。为了方便表示，我们将写成

\mathbf {r} _{1}^{*}=(x_{1},y_{1},z_{1})\quad \mathbf {r} _{2}^{*}=(x_{2},y_{2},z_{2})

这六个数是常数，反映了哑铃的几何形状。

{\begin{matrix}L_{x}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{x}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{x}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{y}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{y}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{y}\\&&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{z}\\L_{z}&=&(M_{1}d_{1}^{2}+M_{2}d_{2}^{2})\omega _{z}-(M_{1}x_{1}^{2}+M_{2}x_{2}^{2})\omega _{z}\\&&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\omega _{x}-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\omega _{y}\\\end{matrix}}

我们认识到这是一个矩阵乘法。

{\begin{pmatrix}L_{x}\\L_{y}\\L_{z}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{x}\\\omega _{y}\\\omega _{z}\end{pmatrix}}

其中

${\begin{pmatrix}I_{xx}&I_{xy}&I_{xz}\\I_{yx}&I_{yy}&I_{yz}\\I_{zx}&I_{zy}&I_{zz}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}M_{1}(d_{1}^{2}-x_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-x_{2}^{2})&-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}y_{1}+M_{2}x_{2}y_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-y_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-y_{2}^{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})\\-(M_{1}x_{1}z_{1}+M_{2}x_{2}z_{2})&-(M_{1}y_{1}z_{1}+M_{2}y_{2}z_{2})&M_{1}(d_{1}^{2}-z_{1}^{2})+M_{2}(d_{2}^{2}-z_{2}^{2})\end{pmatrix}}$