模算术/索菲·热尔曼定理

索菲·热尔曼定理

令$p$ 为素数。那么，对于方程，

$x^{p}+y^{p}=z^{p}$

如果且仅如果存在素数 $q$，使得

1. 不存在两个非零的 $p^{th}$ 次幂在模 $q$ 下相差 1；
2. $p$ 本身不是模 $q$ 下的 $p^{th}$ 次幂。

推论：费马大定理的第一种情况（即 $p$ 不整除 $xyz$ 的情况）必须对所有素数 $p$ 成立，如果存在素数 $q$ 使得 (1) 和 (2) 成立。