膨胀球壳的迟滞引力势中的运动物体/经典方法

经典方法

本维基教科书假设在可见宇宙的后面存在着一个巨大的暗物质壳。这种物质相当冷，可以认为它处于热平衡状态。因此，该壳体发射的电磁辐射可以用普朗克辐射定律来表示。这种冷源发射的电磁辐射是不可见的，此外，由于快速膨胀发射壳体的相对速度以及该壳体质量的引力作用，辐射经历了强烈的红移。

两个质量 $m$ 和 $M$ 之间的引力 $F$，距离为 $s$，由牛顿万有引力定律给出，其中引力常数为 $G$

$F=G\,{\frac {m\cdot M}{s^{2}}}$

在一个思想实验中，可以研究位于质量为 $M$ 的球壳内的质量 $m$ 的行为。艾萨克·牛顿（1643-1727，格里高利历）在 1687 年描述的方法被称为牛顿壳层定理。 ^{根据该定理，质量 $m$ 在质量为 $M$ 的均匀球形对称壳体内不会受到任何净引力。此外，这与质量 $m$ 在壳体内的位置以及它的速度无关。}

这种行为可以用以下考虑来解释：假设质量$m$位于半径为$r$，面密度为$\rho _{a}$的均匀球对称壳中。那么壳的面积$A$和质量$M$可以表示为

$A=4\pi \cdot r^{2}$

$M=\int \limits _{A}\mathrm {d} M=\int \limits _{A}\rho _{a}\cdot \mathrm {d} A=\rho _{a}\cdot 4\pi \cdot r^{2}$

关于引力作用在质量$m$上的等效性，它位于均匀球对称壳中，具有两个面积元素$\mathrm {d} A_{1}$和$\mathrm {d} A_{2}$。

如果我们取一个轴对称双锥体，其中两个锥体的顶点位于质量$m$的位置，该质量位于均匀球对称壳内，我们得到了旁边图中所示的情况。

对于两个无限小的面积元素$\mathrm {d} A_{1}$和$\mathrm {d} A_{2}$，它们与质量$m$的距离分别为$s_{1}$和$s_{2}$，具有相同的无限小的角度元素$\mathrm {d} \alpha$

$\mathrm {d} A_{1}={\frac {\pi }{4}}\,s_{1}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

$\mathrm {d} A_{2}={\frac {\pi }{4}}\,s_{2}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

对于两个面积元素的相应质量 $\mathrm {d} M_{1}$ 和 $\mathrm {d} M_{2}$

$\mathrm {d} M_{1}=\rho _{a}\cdot \mathrm {d} A_{1}=\rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{1}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

$\mathrm {d} M_{2}=\rho _{a}\cdot \mathrm {d} A_{2}=\rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{2}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

根据万有引力定律，我们可以表示两个面积元素的质量产生的两个无穷小的引力 $\mathrm {d} F_{1}$ 和 $\mathrm {d} F_{2}$

$\mathrm {d} F_{1}=G\,{\frac {m\cdot \mathrm {d} M_{1}}{s_{1}^{2}}}=G\,{\frac {m\cdot \rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{1}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}}{s_{1}^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\,G\cdot m\cdot \rho _{a}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

$\mathrm {d} F_{2}=G\,{\frac {m\cdot \mathrm {d} M_{2}}{s_{2}^{2}}}=G\,{\frac {m\cdot \rho _{a}\cdot {\frac {\pi }{4}}\,s_{2}^{2}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}}{s_{2}^{2}}}={\frac {\pi }{4}}\,G\cdot m\cdot \rho _{a}\cdot \mathrm {d} \alpha ^{2}$

很明显，这两个力的值相同，并且由于它们必须精确地指向相反的方向，因此它们加起来为零。换句话说：球壳内的质量根本不会受到任何净重力。

值得注意的是，这种经典方法假设 **引力波的传播速度是无限的**，这适用于静态情况，但不适用于动态情况以及巨大的系统。