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史瓦西半径 r S {\displaystyle r_{S}} z {\displaystyle z} r {\displaystyle r} 任何质量 M {\displaystyle M} r S {\displaystyle r_{S}}
r S = 2 G M c 2 {\displaystyle r_{S}={\frac {2\,G\,M}{c^{2}}}} 除了质量之外，史瓦西半径只取决于两个自然常数
引力常数: G = 6.67 ⋅ 10 − 11 m 3 kg s 2 {\displaystyle G=6.67\cdot 10^{-11}{\frac {{\text{m}}^{3}}{{\text{kg}}\,{\text{s}}^{2}}}}
光速: c = 299792458 m s {\displaystyle c=299792458{\frac {\text{m}}{\text{s}}}} 发射到史瓦西球体相反方向的，距离球体中心 r {\displaystyle r}
z = 1 1 − 2 G M r c 2 − 1 = 1 1 − r S r − 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2\,G\,M}{r\,c^{2}}}}}}-1={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {r_{S}}{r}}}}}-1} 像 JADES.GS.z14-0 星系这样的非常遥远的天体的红移值大于 14，远大于预期。这样的星系的可能的高速不足以产生如此高的值。这个星系的距离为 135 亿光年，其年龄被认为是大爆炸后 2.9 亿年。
宇宙微波背景甚至具有 1089 的红移值，这非常高。它与大爆炸后约 38 万年出现的第一个氢原子有关。
质量为 m {\displaystyle m} λ M {\displaystyle \lambda _{M}} m {\displaystyle m} M e f f {\displaystyle M_{eff}} 然而，引力红移不仅可以在球体外部发生，也可以在空心球形帽内发生。为了估计其引力红移，可以针对帽内任何点对这种帽的有效质量 M e f f {\displaystyle M_{eff}}
对于运动非常快的物体，我们可以假设它们只感受到它们前面的质量元素的延迟引力势，因为向后的势被延迟得更多，因此对净引力的贡献很小。在下一节中，只考虑壳帽的弧线。垂直于运动方向的万有引力非常小，可以忽略不计。
这在第一近似中也适用于运动非常快的质量 m {\displaystyle m} m {\displaystyle m} d {\displaystyle d} 2 R − d {\displaystyle 2\,R-d} R {\displaystyle R} "延迟引力势" ）。
F r i g h t ∝ 1 d 2 {\displaystyle F_{right}\propto {\frac {1}{d^{2}}}} F l e f t ∝ 1 ( 2 R − d ) 2 {\displaystyle F_{left}\propto {\frac {1}{(2\,R-d)^{2}}}} 如果我们假设距离是半径的一部分
d = R n {\displaystyle d={\frac {R}{n}}} 那么两个力的比率具有以下关系
F r i g h t F l e f t = ( 2 R − R n R n ) 2 = ( 2 n − 1 ) 2 {\displaystyle {\frac {F_{right}}{F_{left}}}=\left({\frac {2\,R-{\frac {R}{n}}}{\frac {R}{n}}}\right)^{2}=(2\,n-1)^{2}} 观察到的物体距离的延迟万有引力之比与相应的红移 这意味着，如果距离 d {\displaystyle d} R {\displaystyle R}
在左侧的图表中，两个力的比率相对于在相应距离处观察到的红移绘制。远距离物体的红移高值似乎受引力红移支配，而较短距离的红移则受多普勒效应支配。
图示用于积分外部壳层的有效质量 M e f f {\displaystyle M_{eff}} m {\displaystyle m} α {\displaystyle \alpha } − α R {\displaystyle -\alpha _{R}} α R {\displaystyle \alpha _{R}} R {\displaystyle R} d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} λ M {\displaystyle \lambda _{M}} 图中右侧的粗弧表示宇宙外壳的所有质量元素，其线性质量密度为 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} m {\displaystyle m}
我们使用以下常数来估计从这些前提推导出的值：
光年： 1 ly = 9.46 ⋅ 10 15 m {\displaystyle 1\,{\text{ly}}=9.46\cdot 10^{15}{\text{m}}}
哈勃长度： R = 1.36 ⋅ 10 26 m = 14 , 4 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle R=1.36\cdot 10^{26}{\text{m}}=14,4\cdot 10^{9}{\text{ly}}} 该弧的质量 M a r c {\displaystyle M_{arc}} − α R {\displaystyle -\alpha _{R}} + α R {\displaystyle +\alpha _{R}} λ M {\displaystyle \lambda _{M}}
α R = arcsin x R {\displaystyle \alpha _{R}=\arcsin {\frac {x}{R}}} M a r c = ∫ − α R + α R d M = ∫ − α R + α R R λ M d α = 2 ∫ 0 α R R λ M d α = 2 R λ M α R {\displaystyle M_{arc}=\int _{-\alpha _{R}}^{+\alpha _{R}}\mathrm {dM} =\int _{-\alpha _{R}}^{+\alpha _{R}}R\,\lambda _{M}\,\mathrm {d\alpha } =2\,\int _{0}^{\alpha _{R}}R\,\lambda _{M}\,\mathrm {d\alpha } =2\,R\,\lambda _{M}\,\alpha _{R}} 整个壳的质量 M S {\displaystyle M_{S}}
M S = ∫ − π + π d M = 2 π R λ M {\displaystyle M_{S}=\int _{-\pi }^{+\pi }\mathrm {dM} =2\pi \,R\,\lambda _{M}} 勾股定理给出了圆的半弦的以下结果
x = 2 R d − d 2 {\displaystyle x={\sqrt {2\,R\,d-d^{2}}}} 对作用于质量 m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } α {\displaystyle \alpha } α {\displaystyle \alpha } ◯ {\displaystyle \bigcirc } R {\displaystyle R} h {\displaystyle h} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} s {\displaystyle s} m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } e {\displaystyle e} β {\displaystyle \beta } m {\displaystyle m} 如果质量 m {\displaystyle m} d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } α {\displaystyle \alpha }
α = arcsin h R {\displaystyle \alpha =\arcsin {\frac {h}{R}}} s ( α ) = 2 R 2 − 2 R d + d 2 − 2 R ( R − d ) c o s α ≥ d {\displaystyle s(\alpha )={\sqrt {2R^{2}-2\,R\,d+d^{2}-2\,R\,(R-d)\,cos\,\alpha }}\,\geq \,d} 从运动的质量 m 到弧上无穷小质量元素 d M {\displaystyle \mathrm {dM} } β {\displaystyle \beta }
β = arcsin ( R s sin α ) = arcsin h s {\displaystyle \beta =\arcsin \left({\frac {R}{s}}\sin \,\alpha \right)=\arcsin {\frac {h}{s}}} 使用辅助矢高 e {\displaystyle e}
e = R ( 1 − cos α ) {\displaystyle e=R\,\left(1-\cos \alpha \right)} cos β = d − e s {\displaystyle \cos \beta ={\frac {d-e}{s}}} 重力力的垂直分量是对称的，因此它们的净效应为零。通过将半圆积分并使用修正因子 cos β {\displaystyle \cos \beta } m {\displaystyle m} F h o r {\displaystyle F_{hor}}
F h o r = G m ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d M = G m R λ M ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α {\displaystyle F_{hor}=G\,m\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {dM} =G\,m\,R\,\lambda _{M}\,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } } 对于作用在质量 m {\displaystyle m} F h o r {\displaystyle F_{hor}} m {\displaystyle m} M e f f {\displaystyle M_{eff}} m {\displaystyle m} d M {\displaystyle \mathrm {dM} } s {\displaystyle s}
F h o r = G m M e f f d 2 = G m R λ M ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α {\displaystyle F_{hor}=G\,m{\frac {M_{eff}}{d^{2}}}=G\,m\,R\,\lambda _{M}\,\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } } 最后我们得到作用于距离 d {\displaystyle d} m {\displaystyle m} M e f f {\displaystyle M_{eff}}
M e f f = R λ M d 2 ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α = M S d 2 2 π ∫ − π 2 + π 2 cos β s 2 d α {\displaystyle M_{eff}=R\,\lambda _{M}\,d^{2}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } ={\frac {M_{S}\,d^{2}}{2\pi }}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {\cos \beta }{s^{2}}}\,\mathrm {d\alpha } }
这个有效质量 M e f f {\displaystyle M_{eff}} 史瓦西距离 d S {\displaystyle d_{S}}
d S = 2 G M e f f c 2 {\displaystyle d_{S}={\frac {2\,G\,M_{eff}}{c^{2}}}} 由外壳距离 d {\displaystyle d} z {\displaystyle z}
z = 1 1 − 2 G M e f f d c 2 − 1 = 1 1 − d S d − 1 {\displaystyle z={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {2\,G\,M_{eff}}{d\,c^{2}}}}}}-1={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {d_{S}}{d}}}}}-1} 以上方程式可以解出每个质量为 M S {\displaystyle M_{S}} d S {\displaystyle d_{S}} d S = d {\displaystyle d_{S}=d} z ( d S ) = ∞ {\displaystyle z(d_{S})=\infty }
2 G M e f f ( M S , d S ) = d S c 2 {\displaystyle 2\,G\,M_{eff}(M_{S},d_{S})=d_{S}\,c^{2}} 因此，对于给定的 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} d S {\displaystyle d_{S}}
d S ( λ M ) = 2 G c 2 M e f f ( M S , d S ) = 2 G R λ M d S 2 c 2 ∫ − π 2 + π 2 d S − R ( 1 − cos α ) ( 2 R 2 − 2 R d S + d S 2 − 2 R ( R − d S ) cos α ) 3 2 d α {\displaystyle d_{S}(\lambda _{M})={\frac {2\,G}{c^{2}}}M_{eff}(M_{S},d_{S})={\frac {2\,G\,R\,\lambda _{M}\,d_{S}^{2}}{c^{2}}}\int _{-{\frac {\pi }{2}}}^{+{\frac {\pi }{2}}}{\frac {d_{S}-R\,(1-\cos \alpha )}{{\left(2R^{2}-2\,R\,d_{S}+d_{S}^{2}-2\,R\,(R-d_{S})\,\cos \,\alpha \right)}^{\frac {3}{2}}}}\,\mathrm {d\alpha } } Schwarzschild 距离 d S {\displaystyle d_{S}} R {\displaystyle R} R {\displaystyle R} t H {\displaystyle t_{H}}
R = t H ⋅ c = 14.4 ⋅ 10 9 s ⋅ c = 14.4 ⋅ 10 9 ly = 1.36 ⋅ 10 26 m {\displaystyle R=t_{H}\cdot c=14.4\cdot 10^{9}\,{\text{s}}\cdot {c}=14.4\cdot 10^{9}\,{\text{ly}}=1.36\cdot 10^{26}\,{\text{m}}}
假设外壳膨胀，呈球形，由暗物质组成。外壳的有效质量仅考虑物体前面的几何区域计算。这个假设是基于这样一个事实，即来自黑壳相对边界的延迟引力势可以忽略不计。下图显示了在两种不同的表示中，宇宙周围看不见的宇宙质量与球壳内可见宇宙质量之比的关系，该比值以可见宇宙质量 q M {\displaystyle q_{M}}
宇宙可见边界与宇宙看不见的外壳之间的 Schwarzschild 距离 d S {\displaystyle d_{S}}
可见宇宙的半径 R v = R − d S {\displaystyle R_{v}=R-d_{S}}
宇宙的质量： M u n i v e r s e = 2.97 ⋅ 10 53 kg {\displaystyle M_{universe}=2.97\cdot 10^{53}{\text{kg}}} 不可见黑壳的总质量 M S {\displaystyle M_{S}} M u n i v e r s e {\displaystyle M_{universe}}
q M = M S M u n i v e r s e {\displaystyle q_{M}={\frac {M_{S}}{M_{universe}}}} → 查看附录：不同 λ M {\displaystyle \lambda _{M}} Java 程序 数值计算。
在这个模型中，不可见外黑壳的质量 M S {\displaystyle M_{S}}
非常值得注意的是，宇宙微波背景及其余辉光模式的年龄约为 380,000 年（相应的史瓦西距离属于一个壳质量 M S = 2.8769 ⋅ 10 53 kg = 0.96865 ⋅ M u n i v e r s e {\displaystyle M_{S}=2.8769\cdot 10^{53}\,{\text{kg}}=0.96865\cdot M_{universe}} d S = 377 ⋅ 10 3 ly = 3.56 ⋅ 10 21 m = 2.62 ⋅ 10 − 5 ⋅ R {\displaystyle d_{S}=377\cdot 10^{3}\,{\text{ly}}=3.56\cdot 10^{21}\,{\text{m}}=2.62\cdot 10^{-5}\cdot R}
已知最古老的星系 JADES.GS.z14-0 的年龄代表着最年轻的恒星开始发光的时期，也标志着黑暗时代的结束。它的年龄约为 2.9 亿年（对应史瓦西半径属于一个壳质量 M S = 2.92 ⋅ 10 53 kg = 0 , 984 ⋅ M u n i v e r s e {\displaystyle M_{S}=2.92\cdot 10^{53}\,{\text{kg}}=0,984\cdot M_{universe}} d S = 293 ⋅ 10 6 ly = 2.78 ⋅ 10 24 m = 0.020 ⋅ R {\displaystyle d_{S}=293\cdot 10^{6}\,{\text{ly}}=2.78\cdot 10^{24}\,{\text{m}}=0.020\cdot R}
在可见宇宙质量和黑洞壳质量相等的位置，也就是平衡点，史瓦西半径约为 8.6 亿光年（它属于一个壳质量 M S = 2.97 ⋅ 10 53 kg = M u n i v e r s e {\displaystyle M_{S}=2.97\cdot 10^{53}\,{\text{kg}}=M_{universe}}
宇宙半径 r {\displaystyle r} t = 0 {\displaystyle t=0} t U {\displaystyle t_{U}} c {\displaystyle c} r S , u n i v e r s e = t U ⋅ c = 2 G M u n i v e r s e c 2 ≈ 14283 Mpc ≈ 46 , 6 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{S,universe}=t_{U}\cdot c={\frac {2\,G\,M_{universe}}{c^{2}}}\approx 14283{\text{ Mpc}}\approx 46,6\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} r C M B ≈ 14000 Mpc ≈ 45 , 7 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{CMB}\approx 14000{\text{ Mpc}}\approx 45,7\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} t H {\displaystyle t_{H}} r H = t H ⋅ c ≈ 4480 Mpc ≈ 14 , 6 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{H}=t_{H}\cdot c\approx 4480{\text{ Mpc}}\approx 14,6\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} r V ≈ 4230 Mpc ≈ 13 , 8 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{V}\approx 4230{\text{ Mpc}}\approx 13,8\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} t o b s e r v e r = 2 ⋅ t H {\displaystyle t_{observer}=2\cdot t_{H}} t v = 2 ⋅ t H − r V c > t H {\displaystyle t_{v}=2\cdot t_{H}-{\frac {r_{V}}{c}}>t_{H}} 可见宇宙的史瓦西半径 r S , u n i v e r s e {\displaystyle r_{S,universe}}
r S , u n i v e r s e = 2 G M u n i v e r s e c 2 ≈ 4.4 ⋅ 10 26 m ≈ 46.6 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{S,universe}={\frac {2\,G\,M_{universe}}{c^{2}}}\approx 4.4\cdot 10^{26}{\text{ m}}\approx 46.6\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} 这个值与今天宇宙暴胀时期结束时不可见粒子视界半径非常吻合。问题是，这种巧合是偶然发生的，还是由于可见宇宙质量 M u n i v e r s e , v i s i b l e {\displaystyle M_{universe,visible}} G {\displaystyle G} t {\displaystyle t} M u n i v e r s e , v i s i b l e {\displaystyle M_{universe,visible}} [ 1]
G = c 3 M u n i v e r s e , v i s i b l e t {\displaystyle G={\frac {c^{3}}{M_{universe,visible}}}\,t} 根据爱德华·亚瑟·米尔恩，在这个模型中，宇宙常数 Λ {\displaystyle \Lambda }
Λ = 3 c 2 t 2 {\displaystyle \Lambda ={\frac {3}{c^{2}\,t^{2}}}} 如今，这个值大约为 Λ = 1.7 ⋅ 10 − 53 m − 2 {\displaystyle \Lambda =1.7\cdot 10^{-53}{\text{ m}}^{-2}}
如果宇宙的质量保持不变，那么引力常数随时间变化的关系将意味着引力常数以以下速率增长。
d G d t = c 3 M u n i v e r s e , v i s i b l e ≈ 9.1 ⋅ 10 − 29 m 3 kg s 3 {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}={\frac {c^{3}}{M_{universe,visible}}}\approx 9.1\cdot 10^{-29}{\frac {{\text{m}}^{3}}{{\text{kg s}}^{3}}}} 结果，引力常数将以以下数量级发生变化，远小于引力常数测量的不确定度，大约为 2.2 ⋅ 10 − 5 {\displaystyle 2.2\cdot 10^{-5}}
d G d t G ≈ 1.36 ⋅ 10 − 18 1 s ≈ 4.3 ⋅ 10 − 11 1 a {\displaystyle {\frac {\frac {\mathrm {d} G}{\mathrm {d} t}}{G}}\approx 1.36\cdot 10^{-18}{\frac {1}{\text{s}}}\approx 4.3\cdot 10^{-11}{\frac {1}{\text{a}}}} 只有在50万年后，相应的变化才会达到不确定度的数量级。
如果我们将米尔恩的引力常数表达式代入宇宙史瓦西半径的公式，我们会得到
r S , u n i v e r s e = 2 c 3 M u n i v e r s e c 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e t {\displaystyle r_{S,universe}={\frac {2\,c^{3}\,M_{universe}}{c^{2}\,M_{universe,visible}}}\,t} 假设整个宇宙都是可见的，因此， M u n i v e r s e = M u n i v e r s e , v i s i b l e {\displaystyle M_{universe}=M_{universe,visible}}
r S , u n i v e r s e = 2 c t {\displaystyle r_{S,universe}=2\,c\,t} 值得注意的是，根据这些结果，以下估计适用于大约 8.58 亿光年的史瓦西距离，其中黑壳质量与可见宇宙质量之比等于 1
M u n i v e r s e , v i s i b l e ≈ M u n i v e r s e , i n v i s i b l e = M S {\displaystyle M_{universe,visible}\approx M_{universe,invisible}=M_{S}} 这个史瓦西距离类似于粒子视界和宇宙微波背景 (CMB) 平面之间的差异，该差异由当今大多数宇宙学家青睐的 ΛCDM 模型确定
r S , u n i v e r s e − r C M B ≈ 0.9 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{S,universe}-r_{CMB}\approx 0.9\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} r H − r V ≈ 0.8 ⋅ 10 9 ly {\displaystyle r_{H}-r_{V}\approx 0.8\cdot 10^{9}{\text{ ly}}} 因此
M u n i v e r s e , t o t a l = M u n i v e r s e , v i s i b l e + M u n i v e r s e , i n v i s i b l e ≈ 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e ≈ 2 M S {\displaystyle M_{universe,total}=M_{universe,visible}+M_{universe,invisible}\approx 2\,M_{universe,visible}\approx 2\,M_{S}} 这个假设得到了以下事实的支持：可见宇宙半径内的普通物质的质量 r v i s i b l e , u n i v e r s e {\displaystyle r_{visible,universe}} ρ o r d i n a r y m a t t e r {\displaystyle \rho _{ordinary\,matter}} V v i s i b l e , u n i v e r s e {\displaystyle V_{visible,universe}} [ 2]
ρ o r d i n a r y m a t t e r = 4.08 ⋅ 10 − 28 kg m 3 {\displaystyle \rho _{ordinary\,matter}=4.08\cdot 10^{-28}{\frac {\text{kg}}{{\text{m}}^{3}}}} r v i s i b l e , u n i v e r s e = 4.3 ⋅ 10 26 m {\displaystyle r_{visible,universe}=4.3\cdot 10^{26}{\text{ m}}} V v i s i b l e , u n i v e r s e = 4 3 π r v i s i b l e , u n i v e r s e 3 = 3.3 ⋅ 10 80 m 3 {\displaystyle V_{visible,universe}={\frac {4}{3}}\,\pi \,r_{visible,universe}^{3}=3.3\cdot 10^{80}{\text{ m}}^{3}} M o r d i n a r y m a t t e r = ρ o r d i n a r y m a t t e r ⋅ V v i s i b l e , u n i v e r s e = 1.4 ⋅ 10 53 kg ≈ 1 2 M u n i v e r s e = 1 2 2.97 ⋅ 10 53 kg ≈ 1.5 ⋅ 10 53 kg {\displaystyle M_{ordinary\,matter}=\rho _{ordinary\,matter}\cdot V_{visible,universe}=1.4\cdot 10^{53}{\text{ kg}}\approx {\frac {1}{2}}\,M_{universe}={\frac {1}{2}}\,2.97\cdot 10^{53}{\text{ kg}}\approx 1.5\cdot 10^{53}{\text{ kg}}} 然而，如果万有引力常数使用宇宙的总质量 M u n i v e r s e , t o t a l {\displaystyle M_{universe,total}}
G = c 3 M u n i v e r s e , t o t a l t ≈ c 3 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e t {\displaystyle G={\frac {c^{3}}{M_{universe,total}}}\,t\approx {\frac {c^{3}}{2\,M_{universe,visible}}}\,t} r S , u n i v e r s e ≈ 2 c 3 M u n i v e r s e , v i s i b l e 2 c 2 M u n i v e r s e , v i s i b l e t = c t {\displaystyle r_{S,universe}\approx {\frac {2\,c^{3}\,M_{universe,visible}}{2\,c^{2}\,M_{universe,visible}}}\,t=c\,t} 这个值与我们宇宙的视界半径相同。在这种情况下，万有引力常数的变化幅度仅在百万年后才会达到不确定性的范围。即使任何物质从宇宙可见部分流向不可见的外黑壳，导致宇宙可见部分质量减少，宇宙的总质量也不会改变或影响万有引力常数。
以下内容适用于假设宇宙的史瓦西半径仅由可见宇宙的普通物质质量决定的情况，而这仅占宇宙总质量的一半。可见宇宙的史瓦西半径，其质量为 M o r d i n a r y m a t t e r {\displaystyle M_{ordinary\,matter}} M S {\displaystyle M_{S}}
↑ Milne, Edward Arthur (1935). "World picture on the simple kinematic model - Comparison with local Newtonian gravitation and dynamics - §§412-418". Relativity, gravitation and world-structure . Oxford, Great Britain: Clarendon Press. pp. 291–294. ↑ Tatum, Eugene Terry (2015-06-01). "Could Our Universe have Features of a Giant Black Hole?" . Journal of Cosmology . 25 : 13063–13072. 
红移 z 作为物体距宇宙中心距离的函数，在 Schwarzschild 极限内，对于大的红移，它渐近地接近哈勃半径。
在哈勃圆（虚线）内具有给定红移 z 的圆，哈勃半径为圆的半径。
不可见宇宙的黑暗物质外黑壳（右），宇宙微波背景（CMB，暗红色）起源壳以及遥远星系（浅红色）的示意图。由于延迟引力力的作用，黑壳附近的物质加速向壳移动，并可能通过穿过史瓦西距离处的视界而消失到黑壳中。在暗物质转化为“暗能量”的时代，史瓦西距离快速增加。
宇宙黑壳有效质量随可见宇宙半径减小和史瓦西距离增加以及黑壳（有效）质量增加的演化。
可见宇宙边界与宇宙不可见外球之间的史瓦西距离作为黑壳质量以可见宇宙质量为单位的函数。史瓦西距离在附近比黑壳质量增长快得多。
可见宇宙半径作为包围它的不可见宇宙的球形黑壳质量以可见宇宙质量为单位的函数。可见宇宙的大小在附近的时间突然开始收缩。
