音乐理论/音乐物理学

西方音乐理论主要基于古希腊哲学家毕达哥拉斯的发现。

声音的解剖

波

几乎所有为西方音乐做出贡献的乐器都是通过弦的振动或空气柱的振动来产生声音的。这两者都会在空气中形成有规律的、反复的扰动，这些扰动到达我们的耳朵，并被大脑处理为声音。这些反复的扰动被称为**波**，因为它们与水体的扰动相似。

所有波都有**频率**，即空气分子从压缩到拉伸再到压缩一次的频率。频率以**赫兹**（缩写为**Hz**）来衡量，它是每秒发生的压缩和拉伸次数。例如，大多数西方音乐调音的标准将**A₄**音调设置为精确的 440 Hz，并相对于该音调调音其他音符。波也有**振幅**，即空气在每次重复中压缩或拉伸的程度，或波听起来有多响亮。

泛音

**基频**是弦或空气柱振动的基本频率。最纯粹的波类型是**正弦波**，因为它只包含基频，不包含其他任何频率。正弦波可以通过绘制函数 $f(x)=a\sin(h\pi x)$ 的图像来可视化，其中 $a$ 是振幅， $h$ 是以赫兹为单位的频率。图形中的高点和低点代表空气中的压缩和拉伸。

然而，大多数乐器不会产生纯粹的正弦波，因为弦和空气柱不会倾向于只产生基频。它们也倾向于产生称为**泛音**或**谐波**的额外音调，它们的频率是基频的整数倍数；也就是说，它们的频率是基频的两倍、三倍、四倍、五倍、六倍，等等。这些泛音共同构成了**泛音列**；包括基频，它们构成了**谐波列**。一般来说，泛音越高，振幅呈指数级减小，但任何泛音都可以以任何振幅出现，这取决于弦、空气柱、共鸣腔，以及其他因素；这就是不同乐器具有不同音色或听起来不同的原因。事实上，通过使用不同振幅的泛音，可以重现任何声音或波。

谐波列内的关系决定了哪些音程将听起来**客观上**协和或不协和。例如，几乎所有文化都在他们的音乐中使用某种形式的八度音程，因为它是在基频和第一泛音之间，或第一谐波（与基频相同）和第二谐波之间的关系。也可以说这些频率具有 2:1 的比例。许多文化也重视五度音程，因为它是在第二谐波和第三谐波之间的关系，或具有 3:2 的频率比例。比例越简单，音程就越协和。

因此，像二度、三度、六度和七度这样的音程被认为是协和的

大二度是 9:8 的比例
小三度是 6:5 的比例
大三度是 5:4 的比例
小六度是 8:5 的比例
大六度是 5:3 的比例
小七度是 16:9 的比例
大七度是 15:8 的比例

像纯一度、四度、五度和八度这样的音程被认为几乎是基础协和音

纯一度是 1:1 的比例
纯四度是 4:3 的比例
纯五度是 3:2 的比例
纯八度是 2:1 的比例

大三和弦可以表示为三个谐波之间的关系，即三个音调之间 4:5:6 的比例。有了这个，甚至可以使用大三和弦中的关系来构建完整的自然大调音阶。

调音

然而，我们听的音乐实际上并没有完全按照谐波列中的音程调音，原因是各种实际原因。

纯律

假设一个世界，每个人都按照谐波列调音。这种做法被称为**纯律**，是所有事物“应该”调音的自然方式。

现在让我们检查十六世纪数学家吉安巴蒂斯塔·贝内代蒂的一段音乐的调音。

$% Benedetti's Puzzle \new PianoStaff << \new Staff \fixed c' {\bar".|:" \clef treble \time 4/4 << { g4 a2 g4 } \\ { d2 e2 } >> \bar":|."} \new Staff \fixed c {\clef bass \time 4/4 g2 c'2 } >>$

假设是 G 大调，我们可以从低音谱号中的第一个 G₃ 开始作为基频，然后根据它调音其他音符。在比例方面，这个 G 与它本身的比例为 1:1。高音谱号中的上面的 D₄ 应该具有 3:2 的比例，因为它恰好是初始 G 的纯五度。然后，上面的 G₄ 具有 2:1 的比例，因为它恰好是初始 G 的八度。

在下一拍中，高音谱号中的 A₄ 应该具有 9:4 的比例，因为它与前一个 D 恰好是 3:2 的五度，并且 ${\frac {3}{2}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {9}{4}}$ 。

在第三拍中，我们离开原始的 G 和 D，并移动到两个新音符。由于这些音符与高音谱号中的一个悬挂 A 一起演奏，所以这些音符应该相对于该 A 调音，而不是相对于先前的 G 和 D。因此，这里高音谱号中的 E₄ 是 9:4 的 A 的四度。 ${\frac {9}{4}}\div {\frac {4}{3}}={\frac {27}{16}}$ ，因此新的 E 应该为 27:16 的比例。低音谱号中的 C₄ 应该调音为该 C 的 5:4 大三度；由于 ${\frac {27}{16}}\div {\frac {5}{4}}={\frac {27}{20}}$ ，所以 C 应该调音为 27:20。

在最后的节拍中，G₄ 在高音谱号中再次出现。它应该调到比低音谱号中保持的 C 高出一个 3:2 的纯五度音程。 ${\frac {27}{20}}\times {\frac {3}{2}}={\frac {81}{40}}$ ，所以这个 G 现在调到 81:40。

如果我们重复这个乐句，起始的 G₃ 必须调到比最后的 G 低一个 2:1 的八度音程，这会导致最终的比率为 81:80，因为 ${\frac {81}{40}}\div {\frac {2}{1}}={\frac {81}{80}}$ 。当然，这比我们开始的 G 高一点。

$% Benedetti's Puzzle annotated \new PianoStaff << \new Staff \fixed c' {\bar".|:" \clef treble \time 4/4 << { g4^"2:1" a2^"9:4" g4^"81:40" } \\ { d2_"3:2" e2_"27:16" } >> \bar":|."} \new Staff \fixed c {\clef bass \time 4/4 g2_"1:1" c'2_"27:20" } >>$

纯律之所以行不通的原因是，正如我们所见，它很快就变得难以驾驭。像这段音乐片段这样的和弦进行会导致音高以非常小的音程漂移。在这种情况下，音高向上滑动了 81:80 的比率，称为音程逗号。在前面提到的自然音阶中，大二度音程和大六度音程之间的比率是差一个音程逗号的纯五度音程。

不用说，随着音乐变得越来越复杂，必须制定一种更易于处理、更实用的调音标准。