神经科学/计算神经生物学/刺激-反应系统

神经科学中最常研究的系统之一是刺激-反应系统。在这个框架中，一个系统被提供一个输入，称为刺激，并且测量系统的响应。一些典型的刺激示例是视觉场景、听觉记录或电流（如果神经系统被直接刺激）；典型的响应示例包括行为、膜电位或放电率的变化（如果直接记录一个细胞[或细胞组]）。总的目标是找到一个函数，它可以准确地描述刺激和反应之间的关系。

单神经元系统

在单神经元系统中，人们试图描述单个神经元的电流输入如何决定细胞发射动作电位或尖峰的概率。单个输入由时间相关的电流组成，单个输出由不同时间的尖峰序列组成。通过检查尖峰时间和先前刺激之间的关系，可以尝试识别驱动细胞产生动作电位的刺激特征。所讨论的神经元可以是真实的或模拟的。

尖峰触发平均值

将输入电流与尖峰概率相关联的一种方法是，在每个尖峰之前的某个持续时间$T$窗口内描述平均刺激。导致尖峰产生的所有刺激的集合称为尖峰触发集合，而尖峰触发集合的平均值称为尖峰触发平均值。如果将尖峰触发集合视为重要的刺激上的概率分布，则尖峰触发平均值是该分布第一个矩的估计值。直观地，尖峰触发平均值的形状应该与神经元选择性选择的主要特征的形状相对应。

获得尖峰触发平均值后，可以对刺激空间进行降维，以便通过刺激与尖峰触发平均值的重叠程度来描述所有可能的刺激。如果一个任意刺激由向量${\boldsymbol {s}}=(I_{t-n},I_{t-n+1},...,I_{t-1},I_{t})$ 描述，其中 $I_{t-i}$ 是尖峰前第 $i$ 个时间步的电流，则这种降维表示一个映射$F:{\boldsymbol {s}}\rightarrow s_{0}$，其中$s={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}_{0}/f_{s}$，即${\boldsymbol {s}}$ 在尖峰触发平均值 ${\boldsymbol {s}}_{0}$ 上的标量-值的投影，被采样频率 $f_{s}$ 归一化。我们可以使用贝叶斯定理 来写出对一个刺激产生尖峰的概率，$P(spike|s_{0})$

$P(spike|s_{0})={\frac {P(s_{0}|spike)P(spike)}{P(s_{0})}}.$

这个等式的右边可以很容易地从数据中计算出来，因为$P(s_{o}|spike)$ 是投影到 ${\boldsymbol {s}}_{0}$ 的尖峰触发集合，$P(s_{0})$ 是投影到 ${\boldsymbol {s}}_{0}$ 的整个刺激集合，$P(spike)$ 是所有刺激下的平均放电率。因此，要计算给定刺激下的尖峰概率，首先用尖峰触发平均值过滤刺激，然后将过滤后的刺激通过一个非线性$P(spike|s)$ 来获得最终的概率。这是线性-非线性-泊松 (LNP) 神经元动作电位生成模型的一个例子。

尖峰触发协方差

通常情况下，尖峰触发平均值无法充分表征神经元的响应特性。例如，考虑一个神经元，它对电流的较大增加和较大减少都有反应。如果向神经元呈现白噪声刺激，则尖峰触发集合将包含大约相等比例的具有较大电流增加的刺激和具有较大电流减少的刺激。然而，尖峰触发平均值将包含单个电流轨迹，其中几乎没有变化（因为增加和减少在平均过程中相互抵消），因此未能捕获驱动神经元相关的刺激特征。但是，如果检查尖峰触发集合的第二矩，称为尖峰触发协方差，则通常可以恢复对神经元重要的特征的特性。尖峰触发协方差分析与主成分分析（PCA）相关，因为它捕获了刺激空间中具有最高方差的方向。

尖峰触发协方差分析背后的原理在二维空间中更直观。因此，考虑一个正弦电流刺激，其中唯一变化的参数是刺激的频率和振幅。然后，尖峰触发集合中的每个尖峰触发刺激可以用平面上的一个点来表示，其中一个轴对应于频率，另一个轴对应于振幅。尖峰触发集合由这些点的集合表示，每个点对应的刺激都导致神经元发放。宽松地说，尖峰触发协方差分析比较了尖峰触发集合的形状与整个刺激集合的形状（如平面中所示）。因此，通过不仅关注平均尖峰触发刺激，而是关注整个集合的形状，尖峰触发协方差分析可以更准确地捕获与神经元相关的刺激的动态特性。

从数学上讲，尖峰触发协方差分析找到刺激空间中的方向${\boldsymbol {s}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{2},...,{\boldsymbol {s}}_{m}$，对应于尖峰触发集合中最高方差的方向。${\boldsymbol {s}}_{1},{\boldsymbol {s}}_{2},...,{\boldsymbol {s}}_{m}$ 通过寻找尖峰触发协方差矩阵$C$与先验协方差矩阵（即整个刺激集合的协方差矩阵）$C^{prior}$之间差异的特征向量来确定。 $C-C^{prior}$ 具有最大特征值的特征向量是解释最高方差量的方向，具有第二大特征值的特征向量是解释第二大方差量的方向，依此类推。可以任意使用许多方向来描述刺激空间，但通常情况下，当添加更多刺激方向时，模型的预测能力只会增加微不足道的程度。

使用协方差分析确定尖峰概率的方式与使用尖峰触发平均值非常相似，只是在刺激描述中使用了更多维度。因此，首先计算$s_{1}={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}_{1}/f_{s},s_{2}={\boldsymbol {s}}\cdot {\boldsymbol {s}}_{2}/f_{s}$，等等。对尖峰触发集合和整个刺激集合中的所有刺激执行此操作，分别得到分布$P(s_{1},s_{2},...,s_{m}|spike)$ 和 $P(s_{1},s_{2},...,s_{m})$。将这些与贝叶斯定理结合起来得到

$P(spike|s_{1},s_{2},...,s_{m})={\frac {P(s_{1},s_{2},...,s_{m}|spike)P(spike)}{P(s_{1},s_{2},...,s_{m})}}.$

因此，在使用尖峰触发的协方差分析时，人们利用了比尖峰触发的平均值更多的刺激特征，因此可以更全面地描述可能产生尖峰的刺激属性。

广义线性模型

而用于 LNP 尖峰生成模型的线性滤波器 (${\boldsymbol {s}}_{0},{\boldsymbol {s}}_{1},...$) 在使用尖峰触发的平均值和尖峰触发的协方差时以确定性的方式计算，在广义线性模型 (GLM) 中，这些滤波器是在概率框架下确定的。具体来说，滤波器是通过最大似然 选择的，也就是说，选择最大化观察数据集概率的滤波器。重要的是，在 GLM 框架中，似然函数是对数凸的，因此可以获得全局最大值，即使在高维滤波器空间中也是如此 。神经元在 GLM 模型下对刺激的反应速率由下式给出：

$\lambda (t)=exp({\boldsymbol {k}}\cdot {\boldsymbol {s}}+{\boldsymbol {h}}\cdot {\boldsymbol {y}}+\sum _{i}{\boldsymbol {I}}_{i}\cdot {\boldsymbol {y}}_{i})$

其中 ${\boldsymbol {k}}$ 是一个刺激滤波器，${\boldsymbol {h}}$ 是细胞尖峰历史的滤波器，而 $\{{\boldsymbol {I}}_{i}\}$ 是其他相关细胞的尖峰历史滤波器。因此，GLM 为不仅包含刺激，而且包含网络中多个相互作用细胞的尖峰历史依赖性提供了自然的框架 。