核聚变物理与技术/示例页面

注意：电磁场

如前几章所述，电磁场是两个投影的数学抽象${\vec {E}}({\vec {r}}):\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$ 和 ${\vec {B}}({\vec {r}}):\mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}$，满足麦克斯韦方程组

$rot{\vec {H}}={\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {D}}}{\partial t}}\qquad rot{\vec {E}}+{\frac {\partial {\vec {B}}}{\partial t}}=0$
$div{\vec {B}}=0\qquad {\vec {D}}=\rho$

并可以通过定义为以下公式的磁力线来表示：

${\frac {d{\vec {x}}}{ds}}=\alpha {\vec {B}}({\vec {r}})$

定义：开放磁力线

如果磁力线在等离子体中没有闭合，则它是开放的。

定义：闭合磁力线

如果磁力线在等离子体中闭合，则它是闭合的。

定理：磁力线方程

假设电磁场${\vec {E}}({\vec {r}}),{\vec {B}}({\vec {r}})$ 具有磁力线。那么

${\frac {dl_{x}}{B_{x}}}={\frac {dl_{y}}{B_{y}}}={\frac {dl_{z}}{B_{z}}}$

证明
该定理直接来自于磁力线的定义

${\frac {d{\vec {x}}}{ds}}=\alpha {\vec {B}}({\vec {r}})\qquad /.{\frac {ds}{\vec {B}}}$ ${\frac {d{\vec {x}}}{\vec {B}}}=\alpha .ds$

这是一个由三个标量方程组成的向量方程。

${\frac {dl_{x}}{B_{x}}}=\alpha .ds\qquad {\frac {dl_{y}}{B_{y}}}=\alpha .ds\qquad {\frac {dl_{z}}{B_{z}}}=\alpha .ds$

因此可以写成

${\frac {dl_{x}}{B_{x}}}={\frac {dl_{y}}{B_{y}}}={\frac {dl_{z}}{B_{z}}}\qquad Q.E.D.$