数论/公理

整数的公理

公理是整数的基础。它们为证明您将在本书其余部分看到的定理提供了基本依据。

这是一个比较完整的列表

对于 $a$, $b$， 和 $c$ 整数

$\times$ 和 $+$ 的封闭性：$a\times b$ 和 $a+b$ 都是整数

$+$ 的交换律：$a+b=b+a$

$+$ 的结合律：$(a+b)+c=a+(b+c)$

$\times$ 的交换律：$a\times b=b\times a$

$\times$ 的结合律：$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$

分配律：$a\times (b+c)=a\times b+a\times c$

三等分律：$a<0$，$a=0$，或 $a>0$。

良序原理：任何非空正整数集都有最小元素。（这等同于归纳法。）

非平凡性: $0\neq 1$. *实际上，这作为公理是不必要的，因为可以很容易地证明$0\neq 1$. 证明: 假设$0=1$. 存在一个正整数$a$ 使得$a$ 是正整数的成员。 那么，$a\times 0=a\times 1$ 因此，$0=a$ 然而，由于三等分定理指出每个整数都等于 0、正数或负数，因此存在矛盾，即 $a$ 同时为 0 和正整数。 因此，$0\neq 1$. 这个简单的证明提供了一个更强大的系统，因为需要假设的条件更少。

存在性: $1$ 是一个整数。