数论/勾股数

假设 a² + b² = c² 为整数，我们知道什么？注意，通过将每个项乘以一个常数，就会得到一个新的解 (ma)² + (mb)² = (mc)²，因此我们可以将分析限制在那些没有公因数的 (a,b,c) 上（我们将这些三元组称为“本原”）。还要意识到，两个数没有公因数就足够了，因为如果两个数有公因数，那么第三个数也具有相同的公因数。由于这是这种情况，因此至少一条直角边是奇数。 两个“a”和“b”都不能是奇数。首先，注意任何奇数的平方都与 1 (mod 4) 同余，验证，奇数要么与 1 同余，要么与 3 (mod 4) 同余，1² = 1 (mod 4)，而 3² = 9 = 1 (mod 4)。现在，任何两个奇数，“a”和“b”，都有以下性质 a² + b² = 2 (mod 4)，但这不能是“c²”的形式，因为“c”必须是偶数才能使平方为偶数，偶数的平方可被 4 整除，所以 c² = 0 (mod 4)，所以在任何本原勾股数中，必须有一条“直角边”（“a”或“b”）是奇数，另一条必须是偶数，迫使 c 为奇数。

结论：如果 (a,b,c) 是一个本原三元组 (a² + b² = c²)，那么我们可以说“a”总是奇数，“b”总是偶数，“c”总是奇数，并且 gcd(a,b)=1

如果有一种公式可以生成所有可能的勾股数，那就太好了。在这个分析中，a 将是奇数直角边，b 将是偶数直角边，c 将是奇数斜边。

c = b + x（注意 x 必须是奇数） a² + b² = (b + x)² a² = 2bx + x² 或 a² = x(2b + x)

gcd(x,2b + x)=1，因为对于任何素数 p（因为 x 是奇数，p 不能是 2）其中 p $\mid$ x，=> p $\mid$ a² => p $\mid$ a，而 p $\nmid$ (2b + x)，因为如果 p $\mid$ (2b + x) => p $\mid$ 2b => p $\mid$ b，但 gcd(a,b)=1，所以 p $\nmid$ (2b + x)。

了解这一点，我们看到 x 和 (2b + x) 都必须是平方数，并且如果我们将这些平方数重新命名为 x = i² 和 (2b + x) =j²，它们必须是奇数，就会发现 a = ij，然后代入求解 b 得到 (2b + i²) =j²，所以 b = (j² - i²)/2，代入求解 c 得到 c = (j² - i²)/2 + i² = (j² + i²)/2（注意 i<j）。

结论：对于任何两个奇数，i<j 且 gcd(i,j) = 1，都形成一个勾股数，其形式如下 (ij , (j² - i²)/2 , (j² + i²)/2) = (a,b,c)，其中 a² + b² = c²