数值方法/初值问题求解

假设你得到了一个 $y'(x)=f(x,y)$ ，其中 $y$ ，因变量，是自变量 $x$ 的函数，并且给定了 $y(x_{0})=y_{0}$ 。这是一个常微分方程的初值问题，因为它指定了初始条件和给出 $y$ 的微分方程。问题是计算 $y$ 在 $x>x_{0}$ 点的值。求解这类问题存在各种各样的数值方法。它们产生一个数值解，它只是一个值序列 $y_{n}$ ，对应于点 $x_{n}$ 。

数值解是一个近似解。用 $y(x)$ 表示的真实解可能是

无法得到，因为函数 f 可能不可积
太难得到

无论如何，数值解给了我们一个基于已知信息计算 $y_{n}$ 的算法。因此，人们可以编写一个计算机程序来计算它。这就是模拟的基础。

欧拉方法是最简单的，它有点类似于数值地计算积分。在图形上很容易看到发生了什么。在每个点 x_n，你只是观察导数告诉你的前进方向，然后朝那个方向迈出一小步。

欧拉显式方法

设 $x_{n+1}=x_{n}+h$ ，其中h 是某个小的步长值。
设 $y_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})$ 。

Heun 二阶或显式梯形方法

设 $x_{n+1}=x_{n}+h$ ，其中h 是某个小的步长值。
设 ${\tilde {y}}_{n+1}=y_{n}+h\cdot f(x_{n},y_{n})$ 。
令 $y_{n+1}=y_{n}+(h/2)\cdot [f(x_{n},y_{n})+f(x_{n+1},{\tilde {y}}_{n+1})]$ .

示例

现在我们将介绍一些使用该算法的示例。

$y'=x$

假设我们也知道我们要使用 n=4 次迭代计算 f(1)。因此 h=1/4=.25。

x_0=0, y_0=5
x_1=.25, y_1=5+.25*f'(0,5)=5+.25*0=5
x_2=.5, y_2=5+.25*f'(.25,5)=5+.25*.25=5+.0625=5.0625
x_3=.75, y_3=5.0625+.25*f'(.5,5.0625)=5.0625+.25*.5=5.0625+.125=5.1875
x_4=1, y_4=5.1875+.25*f'(.75,5.1875)=5.1875+.25*.75=5.1875+.1875=5.375

所以我们完成了，我们知道 f(1)~=5.375。

我们通过积分知道精确解，y'=x，所以 y=x^2/2+c。在我们的例子中，为了计算 c，我们将 0 替换为 x，将 5 替换为 y，以看到 c=5。所以 f(1)=1^2/2+5 = 5.5。

误差分析

误差只取决于函数的凹凸性（二阶导数）。因此我们可以估计误差为 O(x^2)。我们可以通过采用更小的步长来减少误差。

龙格-库塔方法

龙格-库塔方法是一系列算法，特别适合于数值求解联立微分方程组。

假设我们有一对联立方程，形式为

${\frac {dx}{dt}}=f(t,x,y)$ ，以及

${\frac {dy}{dt}}=g(t,x,y)$ ,

我们希望对它们进行数值积分，相对于 t，步长为 $\Delta t$ 。然后我们计算以下数量

${\begin{array}{lcl}m_{1}&=&f(t,x,y)\\n_{1}&=&g(t,x,y)\\m_{2}&=&f(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{1}}{2}},y+{\frac {n_{1}}{2}})\\n_{2}&=&g(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{1}}{2}},y+{\frac {n_{1}}{2}})\\m_{3}&=&f(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{2}}{2}},y+{\frac {n_{2}}{2}})\\n_{3}&=&g(t+{\frac {\Delta t}{2}},x+{\frac {m_{2}}{2}},y+{\frac {n_{2}}{2}})\\m_{4}&=&f(t+\Delta t,x+m_{3},y+n_{3})\\n_{4}&=&g(t+\Delta t,x+m_{3},y+n_{3})\\\Delta x&=&{\frac {1}{6}}(m_{1}+2m_{2}+2m_{3}+m_{4})\Delta t\\\Delta y&=&{\frac {1}{6}}(n_{1}+2n_{2}+2n_{3}+n_{4})\Delta t\\\end{array}}$