数值方法资格考试问题及解答 (马里兰大学)/Aug06 667

问题 4

假设 $f:R\rightarrow R\!\,$ 是光滑的，并且边值问题

$u''=f(u){\mbox{ on }}(0,1),\quad u(0)=(1)=0\!\,$

有唯一解。

问题 4a

对于 $N\in \mathbb {N} \!\,$ ，令 $x_{i}={\frac {1}{N}},i=0,\ldots ,N\!\,$ 。写出一个 $N+1\!\,$ 个方程的系统，通过用对称差分商替换二阶导数来获得解在 $x_{i}\!\,$ 处的近似值 $u_{i}\!\,$ 。

解答 4a

对称差分商由下式给出

${\frac {u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^{2}}}=u''(x)\!\,$

因此我们有以下包含初始条件 $u(0)=u(1)=0\!\,$ 的方程组。

$\underbrace {{\frac {1}{h^{2}}}{\begin{bmatrix}1&&&&&&\\1&-2&1&&&&\\&1&-2&1&&&\\&&\ddots &\ddots &\ddots &&\\&&&&1&-2&1\\&&&&&&1\end{bmatrix}}} _{A}\underbrace {\begin{bmatrix}u_{0}\\u_{1}\\u_{2}\\\vdots \\\vdots \\u_{n}\end{bmatrix}} _{U}=\underbrace {\begin{bmatrix}0\\f(u_{1})\\f(u_{2})\\\vdots \\f(u_{n-1})\\0\end{bmatrix}} _{f}\!\,$

问题 4b

将方程组写成 $F(U)=0\!\,$ 的形式。定义 $F\!\,$ 的定义域和值域，并解释变量 $U\!\,$ 的含义。

解 4b

$\underbrace {AU-f} _{F(U)}=0\!\,$

定义域： $R^{N+1}\!\,$

值域： $R^{N+1}\!\,$

$U\!\,$ 是一个包含 $N+1\!\,$ 个近似值 $u_{i}\!\,$ 的向量，用于在 $x_{i}\!\,$ 处对解 $u\!\,$ 进行近似。

问题 4c

针对 (b) 中的系统，以 $U^{(0)}=0\!\,$ 为初始值，构建牛顿法来求解该系统。尽可能给出所有相关对象的显式表达式。确定一个充分条件，确保牛顿方案中的迭代值 $U^{(k)}\!\,$ 有定义。无需进行任何进一步计算，你能判断序列 $U^{(k)}\!\,$ 是否收敛吗？为什么或为什么不？

解 4c

牛顿法

$U^{k+1}=U^{k}-J(F(U^{(k)})^{-1}F(U^{(k)})\!\,$

其中 $J(A)\!\,$ 表示矩阵 $A\!\,$ 的雅可比矩阵。

具体而言，

$J(F(U^{(k)})=J(AU-F)=A-J(F)\!\,$

充分条件

如果 $J(F(U^{(k)})^{-1}\!\,$ 存在，则迭代值 $U^{(k)}\!\,$ 有定义。

序列收敛性

由于牛顿法只能保证局部收敛，因此我们无法判断该序列是否收敛。

一般来说，为了保证牛顿法的局部收敛，我们需要

$F\!\,$ 可微

$D(F(U^{*}))\!\,$ 可逆

$D(F)\!\,$ 满足利普希茨条件

$U^{(0)}\!\,$ 接近解 $U^{*}\!\,$

问题 5

考虑边界值问题

-u''=f,\quad 0<x<1\!\,

边界条件为 $u(0)=0\!\,$ 和 $u'(1)+\alpha u(1)=0\!\,$ 。这里 $\alpha \!\,$ 是给定的正数。

问题 5a

描述一种使用分段线性函数（基于均匀网格）求解该问题的伽辽金方法。

弱形式

找到 $u\in U=\{u\in H^{1}:u(0)=0\}\!\,$ 使得对于所有 $v\in U\!\,$

$\int _{0}^{1}-u''v=\int _{0}^{1}fv\!\,$

在进行分部积分并代入初始条件后，我们得到

$\int _{0}^{1}u'v'=\int _{0}^{1}fv-\alpha u(1)v(1)\!\,$

令 $\{x_{i}\}_{i=0}^{N+1}\!\,$ 为 $[0,1]\!\,$ 的均匀分割节点，其中 $x_{0}=0\!\,$ 且 $x_{i}=ih\!\,$ .

令 $\{\phi _{i}\}_{i=0}^{N+1}\!\,$ 为以下定义的标准“帽”函数

对于 $i=1,2\ldots ,N\!\,$

$\phi _{i}={\begin{cases}{\frac {x-x_{i-1}}{h}}&{\mbox{ for }}x\in [x_{i-1},x_{i}]\\{\frac {x_{i+1}-x}{h}}&{\mbox{ for }}x\in [x_{i},x_{i+1}]\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}\!\,$

$\phi _{N+1}={\begin{cases}{\frac {x-x_{N}}{h}}&{\mbox{ for }}x\in [x_{N},x_{N+1}]\\0&{\mbox{ otherwise }}\end{cases}}$

同时， $\phi _{0}=0\!\,$ ，因为 $u(0)=0\!\,$

然后 $\{\phi _{i}\}_{i=0}^{N+1}\!\,$ 形成离散空间 $U_{h}=\{u\in H^{1}[0,1]:u(0)=0,u{\mbox{ piecewise linear }}\}\!\,$ 的基。

问题 5b

推导出此 Galerkin 方法的矩阵方程。显式写出涉及 $\alpha \!\,$ 的线性系统的那个方程。

离散弱形式

寻找 $u_{h}\in U_{h}\!\,$ 使得对于所有 $v\in U_{h}\!\,$

$\int _{0}^{1}u_{h}'v_{h}'=\int _{0}^{1}fv_{h}-\alpha u(1)v(1)\!\,$

由于 $\{\phi _{i}\}_{i=0}^{N+1}\!\,$ 形成基，我们有

$u_{h}=\sum _{i=0}^{N+1}u_{hi}\phi _{i}\!\,$

同样对于 $j=1,\ldots ,N+1\!\,$

$\sum _{i=0}^{N+1}u_{hi}\int _{0}^{1}\phi _{i}'\phi _{j}'=\int _{0}^{1}f\phi _{j}+\alpha \sum _{i=0}^{N+1}u_{hi}\phi _{i}(1)\phi _{j}(1)\!\,$

用矩阵形式表示

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&&&\\-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &&\\&&&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}+\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{h_{1}}\\u_{h_{2}}\\\vdots \\u_{h_{N+1}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{1}f\phi _{1}\\\int _{0}^{1}f\phi _{2}\\\vdots \\\int _{0}^{1}f\phi _{N+1}\end{bmatrix}}\!\,$

问题 6

考虑线性多步法

$y_{n+1}={\frac {4}{3}}y_{n}-{\frac {1}{3}}y_{n-1}+{\frac {2}{3}}hf(x_{n+1},y_{n+1})\!\,$

用于求解初值问题 $y'(x)=f(x,y(x)),y(0)=y_{0}\!\,$

问题 6a

证明截断误差为 2 阶。

问题 6b

说明线性多步法的相容性条件，并验证该问题的方案是否满足此条件。

解答 6b

${\begin{aligned}y_{n+1}&=\sum _{j=0}^{p}a_{j}y_{n-j}+h\sum _{j=-1}^{p}b_{j}f(t_{n-j},y_{n-j})\\&=a_{0}y_{n}+a_{1}y_{n-1}+\ldots +a_{p}y_{n-p}+h[b_{-1}f(t_{n+1},y_{n+1})+b_{0}f(t_{n},y_{n})+b_{1}f(t_{n-1},y_{n-1})+\ldots +b_{p}f(t_{n-p},y_{n-p})]\end{aligned}}\!\,$