假设存在一个求积公式
∫ a b f ( x ) d x ≈ w a f ( a ) + w b f ( b ) + ∑ j = 1 n w j f ( x j ) {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx w_{a}f(a)+w_{b}f(b)+\sum _{j=1}^{n}w_{j}f(x_{j})\!\,}
当 f {\displaystyle f\!\,} 是一个 2 n + 1 {\displaystyle 2n+1\!\,} 次多项式时，该公式能够精确地计算积分。这里节点 { x j } j = 1 n {\displaystyle \{x_{j}\}_{j=1}^{n}\!\,} 都是不同的。证明节点位于开区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\!\,} 中，并且权重 w a , w b {\displaystyle w_{a},w_{b}\!\,} 和 { w j } j = 1 n {\displaystyle \{w_{j}\}_{j=1}^{n}\!\,} 为正数。
令 { x i } i = 1 l {\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{l}\!\,} 为位于区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\!\,} 内的节点。
令 q l ( x ) = ∏ i = 1 l ( x − x i ) {\displaystyle q_{l}(x)=\prod _{i=1}^{l}(x-x_{i})\!\,} ，这是一个 l {\displaystyle l\!\,} 次多项式。
令 p n ( x ) = ∏ i = 1 n ( x − x i ) = q l ( x ) ∏ i = 1 n − l ( x − x i ) {\displaystyle p_{n}(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=q_{l}(x)\prod _{i=1}^{n-l}(x-x_{i})\!\,} ，这是一个 n > l {\displaystyle n>l\!\,} 次多项式。
那么
⟨ p n , q l ⟩ = ∫ a b q l 2 ( x ) ∏ i = 1 n − l ( x − x i ) ⏟ r ( x ) ≠ 0 {\displaystyle \langle p_{n},q_{l}\rangle =\int _{a}^{b}q_{l}^{2}(x)\underbrace {\prod _{i=1}^{n-l}(x-x_{i})} _{r(x)}\neq 0\!\,}
因为 r ( x ) {\displaystyle r(x)\!\,} 在区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,b)\!\,} 上符号不变，因为对于 i = 1 , 2 , … n − l {\displaystyle i=1,2,\ldots n-l\!\,} ， x i ∉ ( a , b ) . {\displaystyle x_{i}\not \in (a,b).\!\,}
这意味着 q l {\displaystyle q_{l}\!\,} 的次数为 n {\displaystyle n\!\,} ，否则
⟨ p n , q l ⟩ = 0 {\displaystyle \langle p_{n},q_{l}\rangle =0\!\,}
根据 p n {\displaystyle p_{n}\!\,} 的正交性。
是一个 
次多项式时，该公式能够精确地计算积分。这里节点 
都是不同的。证明节点位于开区间 
中，并且权重 
和 
为正数。
为位于区间 内的节点。
，这是一个 
次多项式。
，这是一个 
次多项式。
在区间 上符号不变，因为对于 
，
的次数为 
，否则
的正交性。
