数值方法资格考试问题及解答（马里兰大学）/2004年1月 667

问题 4a

考虑以下边值问题 ${\begin{cases}-u''(x)+b(x)u(x)=f(x),0\leq x\leq 1\\u(0)=u_{l},u(1)=u_{r}\end{cases}}\qquad (1)\!\,$ 其中$b(x),f(x)\in C[0,1]\!\,$，以及$b(x)\geq 0\!\,$。在大小为$h\!\,$的均匀网格上，为$(1)\!\,$的近似解，制定一个差分方法。解释如何用差商逼近$u''(x)\!\,$

解答 4a

从$u(x+h)\!\,$和$u(x-h)\!\,$在$x\!\,$附近的泰勒展开式，我们有

$u''(x)={\frac {u(x+h)-2u(x)+u(x-h)}{h^{2}}}+{\frac {u''''(\xi )}{12}}h^{2}\!\,$

令 $P=\{x_{i}\}_{i=0}^{N+1}\!\,$ 为 $[0,1]\!\,$ 的均匀划分，步长为 $h\!\,$

那么对于 $i=2,\ldots ,N-1\!\,$ 我们有

${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{h^{2}}}&&&{\frac {2}{h^{2}}}+b(x_{i})&&&-{\frac {1}{h^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{i-1}\\u_{i}\\u_{i+1}\end{bmatrix}}=f(x_{i})\!\,$

对于 $i=1:\!\,$

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h^{2}}}+b(x_{1})&&&-{\frac {1}{h^{2}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}=f(x_{1})+{\frac {u_{l}}{h^{2}}}\!\,$

对于 $i=N:\!\,$

${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{h^{2}}}&&&{\frac {2}{h^{2}}}+b(x_{N})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{N-1}\\u_{N}\end{bmatrix}}=f(x_{N})+{\frac {u_{r}}{h^{2}}}\!\,$

问题 4b

假设 $b(x)=0\!\,$ 以及 $u_{l}=u_{r}=0\!\,$ 在 $(1)\!\,$ 中。在这个特殊情况下，在均匀网格上，为 $(1)\!\,$ 的近似解制定有限元方法。使用有限元空间的标准“帽子函数”基，显式写出有限元方程。证明如果在有限元方程的右手边使用适当的求积公式，则它们（有限元方程）与有限差分方程相同。

解答 4b

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&&\\-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&\\&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\\vdots \\\vdots \\u_{N}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\int _{0}^{1}f\phi _{i}\\\vdots \\\\\int _{0}^{1}f\phi _{N}\end{bmatrix}}\!\,$

由于我们在右手边对帽子函数进行积分，因此适当的求积公式是采用中点规则的一半。常规中点规则会给出帽子函数实际积分值的双倍。

因此，$\int _{0}^{1}f(x)\phi _{i}(x)\approx hf(x_{i})\!\,$

那么有限差分法和有限元法会产生相同的矩阵。

问题 4c

证明在 $(b)\!\,$ 中的矩阵是非奇异的。

解答 4c

由于该矩阵是严格对角占优的，因此它是非奇异的。

为了证明该矩阵具有非零行列式，可以使用 2n 个初等行操作来证明

${\begin{bmatrix}{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&&\\-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&\\&\ddots &\ddots &\\&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}\end{bmatrix}}$

与以下矩阵具有相同的行列式

${\begin{bmatrix}-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}&-{\frac {1}{h}}&\\&\ddots &\ddots &\ddots &\\&&-{\frac {1}{h}}&{\frac {2}{h}}\\&&&{\frac {n+1}{h}}\\\end{bmatrix}}$

它是一个 ${\frac {n+1}{h^{n}}}\neq 0$.

问题 5

考虑以下耗散初值问题： ${\begin{cases}y'+f(y)=0,0\leq x\leq 1\\y(0)=y_{0}\end{cases}}\qquad (2)\!\,$ 其中 $f:R\rightarrow R\!\,$ 是光滑的并且满足 $0\leq f'(y)\!\,$

问题 5a

写出 (2) 的后向欧拉方法。这将产生一个代数方程。解释你将如何求解该方程。

解 5a

使用泰勒展开式，我们有

${\begin{aligned}y(x-h)&=y(x)-y'(x)h+{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\y(x)&=y(x-h)+y'(x)h-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\y(x_{n})&=y(x_{n-1})+\underbrace {y'(x_{n})} _{-f(y(x_{n}))}h-\underbrace {{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}} _{O(h^{2})}\qquad (*)\\\end{aligned}}$

因此我们有后向欧拉方法

$y_{n}=y_{n-1}-hf(y_{n})\qquad (**)\!\,$

设 $e_{n}\equiv y(x_{n-1})-y_{n}\!\,$

问题 5b

推导出以下形式的误差估计： $|y(x_{n})-y_{n}|\leq {\frac {M}{2}}h,n=1,2,\ldots \!\,$ 其中 $M=\max _{0\leq x\leq 1}|y''(x)|\!\,$. 直接推导，不要使用标准定理。 (注意右边没有指数)。

解 5b

将 $(*)\!\,$ 和 $(**)\!\,$ 相减，得到

${\begin{aligned}e_{n}&=e_{n-1}-h[f(y(x_{n}))-f(y_{n})]-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\&=e_{n-1}-hf'(y(\alpha ))e_{n}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\quad {\mbox{ (by MVT) }}\\e_{n}^{2}&=e_{n-1}e_{n}-h\underbrace {f'(y\alpha )} _{<0}e_{n}^{2}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}e_{n}\\&\leq e_{n-1}e_{n}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}e_{n}\\e_{n}&\leq e_{n-1}-{\frac {y''(\xi )}{2}}h^{2}\\\|e_{n}\|&\leq \|e_{n-1}\|+{\frac {\|y''\|_{\infty }}{2}}h^{2}\\\|e_{n}\|&\leq n{\frac {\|y''\|_{\infty }}{2}}h^{2}\\&\leq {\frac {M}{2}}h\end{aligned}}\!\,$