数值方法资格考试试题及解答 (马里兰大学) / 2000 年 1 月

问题 1

令 $f\!\,$ 为一个具有 3 个连续导数的函数。令 $q\!\,$ 为一个在 $x_{0}<x_{1}<x_{2}\!\,$ 上插值 $f\!\,$ 的二次多项式。令 $h=max(x_{1}-x_{0},x_{2}-x_{1})\!\,$ 且

\max _{x_{0}\leq x\leq x_{2}}|f'''(x)|=K\!\,

.

问题 1a

证明

\max _{x_{0}\leq x\leq x_{2}}|f''(x)-q''(x)|=Ch^{\alpha }\!\,

,

其中 $C>0\!\,$ 仅取决于 $K\!\,$ 并决定 $\alpha _{i}\!\,$ 。(提示：关键是证明 $f''(x)-q''(x)\!\,$ 在 $[x_{0},x_{2}]\!\,$ 中的某个点处消失。然后可以通过积分得到结果。）

解 1a

提示的证明

断言：存在 $\eta \in (x_{0},x_{2})\!\,$ 使得 $f^{\prime \prime }(\eta )-q^{\prime \prime }(\eta )=0\!\,$

证明：插值多项式可以用除差系数表示，即

$q(x)=f[x_{0}]+f[x_{0},x_{1}](x-x_{0})+f[x_{0},x_{1},x_{2}](x-x_{0})(x-x_{1})\!\,$

这意味着

$q^{\prime \prime }(x)=2f[x_{0},x_{1},x_{2}]\!\,$

一般来说，除差系数可以表示为 $f\!\,$ 的导数的阶乘加权点，即

$(\triangle )\qquad f[x_{0},\ldots ,x_{n}]={\frac {f^{(n)}(\xi )}{(n)!}}\qquad \xi \in I[x_{0},\ldots ,x_{n}]\!\,$

因此，

$f[x_{0},x_{1},x_{2}]={\frac {f^{\prime \prime }(\eta )}{2!}}\qquad \eta \in [x_{0},x_{2}]\!\,$

这意味着

$q^{\prime \prime }(\eta )-f^{\prime \prime }(\eta )=0\!\,$

应用提示

根据提示，我们知道

$f^{\prime \prime }(\eta )-q^{\prime \prime }(\eta )=0\!\,$

这意味着

$f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )+q^{\prime \prime }(\eta )\!\,$

由于 $q(x)\!\,$ 是二次函数， $q^{\prime \prime }(x)\!\,$ 是常数，即对于所有 $x\!\,$ ， $q^{\prime \prime }(x)=K\!\,$

因此，

$f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )+q^{\prime \prime }(\eta )=f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )\!\,$

根据微积分基本定理，

${\begin{aligned}f^{\prime \prime }(x)-f^{\prime \prime }(\eta )&=\int _{\eta }^{x}f^{\prime \prime \prime }(t)dt\\&\leq \|f^{\prime \prime \prime }(x)\|_{\infty }|x-\eta |\\&\leq 2h\|f^{\prime \prime \prime }\|_{\infty }\end{aligned}}$

因此，

$\max _{x\in [x_{0},x_{2}]}|f^{\prime \prime }(x)-q^{\prime \prime }(x)|\leq \underbrace {2\|f^{\prime \prime \prime }(x)\|_{\infty }} _{C}h^{1}\!\,$

问题 1b

现在假设 $h=x_{2}-x_{1}=x_{1}-x_{0}\!\,$ 并且 $f\!\,$ 具有 4 个连续导数。在这种情况下，证明

|f''(x_{1})-q''(x_{1})|\leq C'h^{\beta }\!\,

其中 $\beta >\alpha \!\,$ . $C'\!\,$ 用 $f\!\,$ 的导数表示？

解 1b

f 的三阶导数为零

我们知道 $f[x_{0},x_{1},x_{2},x]=0\!\,$ ，因为 $p\in P_{2}\!\,$ 。现在，根据 $(\triangle )\!\,$ ，我们可以得出结论，存在 $\eta ^{*}\in I[x_{0},x_{1},x_{2},x]\!\,$ ，使得 $f'''(\eta ^{*})=0\!\,$ .

微积分基本定理的应用（两次）

{\begin{aligned}f''(x_{1})-f''(\eta )&=\int _{\eta }^{x_{1}}f^{(3)}(x)dx\\&=\int _{\eta }^{x_{1}}f^{(3)}(x)-\underbrace {f^{(3)}(\eta ^{*})} _{0}dx\\&=\int _{\eta }^{x_{1}}\int _{\eta *}^{x}f^{(4)}(t)dtdx\\&\leq \|f^{(4)}\|_{\infty }|x-\eta ^{*}||x_{1}-\eta |\\&\leq \underbrace {2\|f^{(4)}\|_{\infty }} _{C'}h^{2},\end{aligned}}

问题 2a

找到一个集合 $\{p_{0},p_{1},p_{2}\}\!\,$ ，使得 $p_{i}\!\,$ 是一个 $i\!\,$ 次多项式，并且该集合在 $[0,\infty )\!\,$ 上关于权函数 $w(x)=e^{-x}\!\,$ 正交。（注意： $\int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-x}dx=n!\!\,$ ， $0!=1.\!\,$ )

解法 2a

应用 Gram-Schmidt 正交化方法

为了找到正交的 $\{p_{0},p_{1},p_{2}\}\!\,$ ，使用 Gram-Schmidt 正交化方法。

令 $\{v_{0}=1,v_{1}=x,v_{2}=x^{2}\}\!\,$ 是 $P_{2}\!\,$ 的一个基底。

计算 p_0

选择 $p_{0}=v_{0}=1\!\,$ 。

计算 p_1

根据 Gram-Schmidt 正交化方法，我们有

$p_{1}=\underbrace {x} _{v_{1}}-{\frac {(v_{1},p_{0})}{(p_{0}\cdot ,p_{0})}}\cdot \underbrace {1} _{p_{0}}\!\,$ ，其中

$(v_{1},p_{0})=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot 1\cdot xdx=1\!\,$

$(p_{0},p_{0})=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot 1\cdot 1dx=1\!\,$

因此 $p_{1}=x-1\!\,$

计算 p_2

继续使用 Gram-Schmidt 正交化方法，我们有

$p_{2}=\underbrace {x^{2}} _{v_{2}}-{\frac {(v_{2},p_{1})}{(p_{1},p_{1})}}\cdot \underbrace {(x-1)} _{p_{1}}-{\frac {(v_{2},p_{0})}{(p_{0},p_{0})}}\cdot \underbrace {1} _{p_{0}}\!\,$ 其中

${\begin{aligned}(v_{2},p_{1})&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{2}\cdot (x-1)dx\\&=\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{3}dx} _{3!}-\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot x^{2}dx} _{2!}\\&=4\end{aligned}}$

${\begin{aligned}(p_{1},p_{1})&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot (x-1)\cdot (x-1)dx\\&=\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot (x^{2}-2x+1)dx\\&=\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}x^{2}dx} _{2!}-2\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot xdx} _{1!}+\underbrace {\int _{0}^{\infty }e^{-x}\cdot 1dx} _{0!}\\&=1\end{aligned}}$