OCR A-Level 物理/电子、波和光子新规范/量子物理学

光子模型

电磁波以波的形式在空间中传播，这一点可以通过它们的衍射和干涉能力来证明。然而，当波与物质相互作用时，它们以离散能量包的形式进行，这些能量包被称为量子。一个电磁能量量子被称为光子。

一个光子的能量 ${\textstyle E_{\gamma }}$ 与它所代表的电磁辐射的频率 ${\textstyle f}$ 通过以下方程相关联：

${\textstyle E_{\gamma }=hf}$

其中 ${\textstyle h}$ 是普朗克常数，等于 ${\textstyle 6.63\times 10^{-34}}$ Js。

频率与波长 ${\textstyle \lambda }$ 通过以下方程相关联：

${\textstyle v=\lambda f}$

其中 ${\textstyle v}$ 是波的速度。所有光子在真空中以光速 ${\textstyle c}$ 传播，因此对于光子：

${\textstyle c=\lambda f}$

${\textstyle f={\frac {c}{\lambda }}}$

${\textstyle \therefore E_{\gamma }={\frac {hc}{\lambda }}}$

其中 ${\textstyle \lambda }$ 是光子的波长， ${\textstyle c}$ 是真空中光速，等于 ${\textstyle 3\times 10^{8}}$ ms^-1。

电子伏特

电子伏特 (eV) 是一个比焦耳 (J) 更小的能量单位，在量子层面的计算中更方便。电子伏特被定义为 *电子在 1 伏特的电势差中加速获得的能量*。电压 ${\textstyle V}$ 被定义为每单位电荷 ${\textstyle Q}$ 转移的能量 ${\textstyle W}$ ，可以改写为；

${\textstyle W=VQ}$

对于电子伏特，电压等于 1 伏特，电荷等于电子的电荷 ${\textstyle e}$ ，因此；

${\textstyle W=1\times e}$

${\textstyle 1}$ eV ${\textstyle =1.6\times 10^{-19}}$ J

使用 LED 计算 ${\textstyle h}$

发光二极管 (LED) 发射光波，因此也发射光子。然而，LED 是二极管，因此只有在超过某个电压 ${\textstyle V_{c}}$ （称为阈值电压）时，它们才会开始允许电流通过。当电路电压等于阈值电压以及 LED 中的电子损失能量时，就会发射光子。

因此，电子损失的能量大致等于光子获得的能量。这只是一个近似值，因为没有 LED 的效率是 100%。我们可以利用这一点来求得普朗克常数 ${\textstyle h}$ 的近似值。

${\textstyle E_{e}\approx E_{\gamma }}$

${\textstyle eV_{c}\approx {\frac {hc}{\lambda }}}$

${\textstyle V_{c}\approx ({\frac {hc}{e}}){\frac {1}{\lambda }}}$

${\textstyle V_{c}\propto {\frac {1}{\lambda }}}$

因此，LED 的阈值频率越高，发射的光子的波长就越短。在图表的 y 轴上绘制 ${\textstyle V_{c}}$ ，在 x 轴上绘制 ${\textstyle {\frac {1}{\lambda }}}$ ，将得到一条大致穿过原点的直线。这条直线的斜率 ${\textstyle m}$ 由以下关系定义；

${\textstyle m\approx {\frac {hc}{e}}}$

因此，重新排列以求解 ${\textstyle h}$ ，我们得到；

${\textstyle h\approx {\frac {me}{c}}}$

光电效应

光电效应是指 _当金属吸收足够高频率的电磁辐射时，会从表面释放电子的现象_。通过这种现象发射的电子被称为光电子。

金箔验电器实验

光电效应可以用金箔验电器来演示。在这个实验中，金属板、杆和叶片最初带负电荷。同种电荷相互排斥，导致金箔上升。如果金属板放电，金箔会塌回垂直位置。

当可见光（无论强度如何）照射到金属板时，金箔保持上升。当紫外光（即使在非常低的强度下）照射到金属板时，金箔会塌陷。因此，照射到金属板上的电磁辐射的强度不会影响电子的发射，但光的频率会影响。这证明入射光必须以离散的包（光子）的形式到达，并且只有当光子的能量超过一定阈值时，金属板才会发射电子。光子的能量必须足够大，才能使电子从原子质子的静电影响中解脱出来。

爱因斯坦的光电方程

爱因斯坦推导出一个方程来描述金箔验电器实验和光电效应的结果。这被称为光电方程，它指出入射光子的能量 ${\textstyle E_{\gamma }}$ 等于以下两者的总和：从金属表面释放电子所需的最小能量 ${\textstyle \phi }$ （也称为 _功函数_）；以及电子释放时的最大动能 ${\textstyle KE_{max}}$ 。

${\textstyle E_{\gamma }=\phi +KE_{max}}$

${\textstyle hf=\phi +KE_{max}}$

当光子的能量小于功函数时，不会发射电子。当光子的能量等于或大于功函数时，电子将被发射。

阈值频率

阈值频率 ${\textstyle f_{0}}$ 是光子必须具有的最小频率，才能从金属表面释放电子。因此，当 ${\textstyle f=f_{0}}$ 时， ${\textstyle KE_{max}=0}$ 。

${\textstyle \therefore hf_{0}=\phi }$

${\textstyle f_{0}={\frac {\phi }{h}}}$

阈值波长

阈值频率 ${\textstyle \lambda _{0}}$ 是光子能够从金属表面释放电子的最小波长。因此，当 ${\textstyle \lambda =\lambda _{0}}$ 时， ${\textstyle KE_{max}=0}$ 。

${\textstyle \therefore {\frac {hc}{\lambda _{0}}}=\phi }$

${\textstyle {hc}=\phi \lambda _{0}}$

${\textstyle \lambda _{0}={\frac {hc}{\phi }}}$

释放的光电子的最大速度

粒子的动能和粒子的速度由以下公式关联：

${\textstyle E_{k}={\frac {1}{2}}mv^{2}}$

释放的电子具有最大动能 ${\textstyle KE_{max}}$ ，因此与它的最大速度 ${\textstyle v_{max}}$ 有以下公式关联：

${\textstyle KE_{max}={\frac {1}{2}}m_{e}(v_{max})^{2}}$

${\textstyle \therefore hf-\phi ={\frac {1}{2}}m_{e}(v_{max})^{2}}$

${\textstyle v_{max}={\sqrt {\frac {2(hf-\phi )}{m_{e}}}}}$

其中 ${\textstyle m_{e}}$ 是电子的质量，等于 ${\textstyle 9.11\times 10^{-31}}$ kg。

波粒二象性

我们已经知道电磁辐射可以表现出波和粒子的双重性质。1923 年，路易斯·德布罗意提出，所有物质，包括电子，都具有波粒二象性。

电子衍射

可以使用电子衍射管证明电子的波粒二象性。电子被加速穿过石墨薄片，石墨薄片充当衍射光栅，在屏幕上产生环状图案。这种图案表明，电子必须发生相长干涉和相消干涉，分别形成最大值和最小值。这意味着电子必须具有相位差，这意味着它们表现得像波一样。

由于电子发生衍射，电子的波长必须与石墨中碳原子之间的间距大小相似。

德布罗意方程

一个在空间中运动动量为 ${\textstyle p}$ 的粒子具有相关的波长 ${\textstyle \lambda }$ ，由德布罗意方程给出：

${\textstyle \lambda ={\frac {h}{p}}={\frac {h}{mv}}}$

其中 ${\textstyle h}$ 是普朗克常数，等于 ${\textstyle 6.63\times 10^{-34}}$ Js。

这可以通过测量石墨中碳原子之间的间隙来验证，该间隙与电子在以正确速度 ${\textstyle v}$ 运动时预测的德布罗意波长具有相似的数量级，从而导致衍射。

'推导' 德布罗意方程

德布罗意方程可以通过使用光子的能量和爱因斯坦的质能方程来'推导'。然而，这不是一个'真正'的推导，因为为了将其应用于速度不等于真空中的光速的物体，我们需要将符号从 ${\textstyle c}$ 更改为 ${\textstyle v}$ 在最后一步，这忽略了爱因斯坦的质能方程使用 ${\textstyle c}$ 作为常数。