Octave 编程教程/微分方程

Octave 提供了两个可用于求解微分方程的函数。该实现集成在 Octave 的核心功能中。使用的算法基于用Fortran 编写的常微分方程求解器。

常微分方程

以下函数lsode 可用于使用 Hindmarsh 的 ODE 求解器 LSODE 的形式的常微分方程 (ODE)。

函数： lsode (fcn, x0, t_out, t_crit)

• 第一个参数是计算右手边向量调用的函数的名称。它必须具有以下形式

   x_dot = f (x, t)

在这个上下文中，x_dot 是函数$f$ 的返回值，而$x$ 是一个向量（在下面的示例中它有 2 个分量），而$t$ 是一个标量。求解器 lsode 获取一个标量向量作为输入。

• 第二个参数 x0 定义初始条件。
• 通过第三个参数，输出时间 t_out 由一个向量定义。在这些时间点，需要计算解。时间点包括初始状态的对应时间作为第一个元素。

• 最后一个参数是一个可选参数，可用于确定 ODE 求解器不应对其进行积分的一组时间点。特别是当解包含奇点时，可以使用这些参数成功运行求解器。其他用例可能是导数的不连续性。

示例

以下示例可用于使用 lsode 求解一组两个微分方程。该函数由

   function x_dot = f (x, t) 
 
     r = 0.15;
     k = 1.6;
     a = 1.25;
     b = 0.12;
     c = 0.89;
     d = 0.58;
 
     x_dot(1) = r*x(1)*(1 - x(1)/k) - a*x(1)*x(2)/(1 + b*x(1));
     x_dot(2) = c*a*x(1)*x(2)/(1 + b*x(1)) - d*x(2);
  
   endfunction

函数 f 通过以下命令进行积分

   x = lsode ("f", [1; 2], (t = linspace (0, 50, 200)'));

该 linspace 命令生成一组 200 个存储在变量 t 中的标量值。

   plot (t, x)

偏微分方程

有关偏微分方程 (PDE)，请参阅以下PDE 示例。

John Weatherwax (2006) 使用 m 文件定义了导数、边界条件

• DBDU_BNDRY.m,
• DBDUX_BNDRY.m,
• DZDT_BNDRY.m 和
• UINIT.m，其中包含 PDE 的初始系统。

使用上面的链接显示库，并将代码调整到您的 PDE 问题。

• pdecol_Script.m 使用边界条件调用 m 文件。以这种方式定义文件将函数的定义封装在求解器脚本 pdecol_Script.m 的单独 m 文件中。将脚本应用于新问题需要调整上面提到的特定于问题的 m 文件，而求解器脚本保持不变。