二维逆问题/电气网络

电气网络 可以定义为带边界的加权图 $G(V,\partial G,E,\gamma ),\partial G\subset V.$

定义在图的边上的权重函数称为电导率。电气网络的拉普拉斯矩阵是对称的。它通常被称为基尔霍夫矩阵。逆问题的边界测量可以方便地用矩阵块表示。

狄利克雷-诺伊曼映射是一种特殊的庞加莱-斯特克洛夫算子。在带边界的曲面上，它是从狄利克雷边界值（势）到谐波函数的诺伊曼边界值（电流）的伪微分算子。由于狄利克雷问题的解的唯一性和存在性，它是定义良好的。

域的狄利克雷-诺伊曼算子的定义

练习 (*)。 证明电气网络的狄利克雷-诺伊曼映射等于其基尔霍夫矩阵的舒尔补。

$\Lambda _{G}={\begin{pmatrix}A&B\\B^{T}&C\end{pmatrix}}/(C)=A-BC^{-1}B^{T}.$

拉普拉斯方程给出了从边界开始的随机游走的命中概率与谐波函数在顶点/点处的值的直接联系，见 [10]。这种联系来自于应用于网络/图的基尔霍夫矩阵的块的几何级数恒等式之和 $\Lambda _{G}=D_{A}(I-W_{G})=A-B^{T}D_{C}\sum _{k}(I-D_{C}^{-1}C)^{k}B.$

这是应用于对角占优矩阵的收敛几何诺伊曼级数的一个特例。

电气网络G中两个节点之间的有效电导率等于总电流与这两个节点之间的电位差之比。有效电导率可以用网络的基尔霍夫矩阵的舒尔补来计算。

练习 (*)。证明网络G所有边界节点对之间的有效电导率决定了G的狄利克雷-诺伊曼映射，反之亦然。

练习 (***)。证明网络G所有节点对之间的有效电导率决定了网络G的边的电导率，反之亦然。