二维逆问题/傅里叶坐标

Let $\omega$ be a not unit N'th root of unity, i.e. $\omega ^{N}=1,\omega \neq 1$.

The discrete Fourier transform 's given by the symmetric Vandermonde matrix:

$F_{\omega }={\frac {1}{\sqrt {N}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&\ldots &1\\1&\omega &\omega ^{2}&\ldots &\omega ^{(N-1)}\\1&\omega ^{2}&\vdots &\ldots &\omega ^{2(N-1)}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\omega ^{(N-1)}&\omega ^{2(N-1)}&\ldots &\omega ^{(N-1)^{2}}\\\end{bmatrix}}$

For example,

$F_{e^{2\pi i/5}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&\omega &\omega ^{2}&\omega ^{3}&\omega ^{4}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega ^{6}&\omega ^{8}\\1&\omega ^{3}&\omega ^{6}&\omega ^{9}&\omega ^{12}\\1&\omega ^{4}&\omega ^{8}&\omega ^{12}&\omega ^{16}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}{\begin{bmatrix}1&1&1&1&1\\1&\omega &\omega ^{2}&\omega ^{3}&\omega ^{4}\\1&\omega ^{2}&\omega ^{4}&\omega &\omega ^{3}\\1&\omega ^{3}&\omega &\omega ^{4}&\omega ^{2}\\1&\omega ^{4}&\omega ^{3}&\omega ^{2}&\omega \\\end{bmatrix}}.$

练习 (*)。 傅里叶变换的平方是恒等变换

$F_{N}^{2}=Id.$

练习 (*)。 如果一个 e-网络是旋转不变的，那么电导率方程也是旋转不变的，狄利克雷-诺伊曼映射在傅里叶坐标系中是 对角化的（矩阵的列向量）。