二维逆问题/图和曲面

在本书中，图 G(V,E) 是两个集合的配对，其中 E 是集合 V 中元素配对的子集。集合 V 中的元素称为顶点，集合 E 中的元素称为边。对于 E 中的每条边 (a,b)，我们称 b 为 a 的邻居。有边界图 是一种带有选定边界节点子集 ∂G 的图。

曲面 S 是一个拓扑空间，在其每个点 p 周围都有一个与开单位圆盘 D 同胚的开集 U

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} .\end{cases}}$

或对于边界节点，其邻域与单位圆盘的一半同胚

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} \cap \{z:\Im z\geq 0\},\\\phi _{U}(U\cap \partial S)=(-1,1).\end{cases}}$

简单弧 在曲面 S 中是区间 [0,1] 到曲面同胚的映射。嵌入 图 G(V,E) 到曲面 S 是用曲面上的不同点表示图的顶点 V，图的边界在曲面的边界上，而边 E 用连接对应端点的简单非相交且不接触的简单弧表示。

对于嵌入到曲面 S 中的图 G，S\E 的连通分量称为面。当面是简单连通的（除非是无界无限面）时，嵌入是适当的。嵌入图 G^* 称为图 G 的对偶，如果它的顶点位于图 G 的不同（且全部）面中，反之亦然，并且它的边连接具有对应相邻面的顶点。图 G 及其对偶 G* 的边处于 1-to-1 对应关系中。嵌入图及其对偶可以统一在中线图 M(G) 的单一结构中，本书后面将定义该结构。从上下文可以清楚地知道如何稍微修改有边界图的定义。

可以嵌入到平面或球体中的图称为平面图。