关于二维逆问题/图形和曲面

在整本书中，一个图形G(V,E)是由两个集合组成的一对，其中E是集合V的元素对的子集。V的元素称为顶点，E的元素称为边。对于E中的每条边(a,b)，我们称b为a的邻居。一个带边界的图形是一个具有选定边界节点子集∂G的图形。

一个曲面S是一个拓扑空间，使得在其每个点p周围都有一个同胚于开单位圆盘D的开集U

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} .\end{cases}}$

或对于边界节点，同胚于单位圆盘一半的邻域

${\begin{cases}p\in U,\\\phi _{U}(p)=0,\\\phi _{U}(U)=\mathbf {D} \cap \{z:\Im z\geq 0\},\\\phi _{U}(U\cap \partial S)=(-1,1).\end{cases}}$

曲面S中的简单弧是区间[0,1]到曲面的同胚的像。图形G(V,E)到曲面S的嵌入是图形的顶点V在S的不同点上的表示，其中图形的边界在曲面的边界上，边E是通过简单非相交且非接触的简单弧连接相应端点的。

对于嵌入在曲面S中的图形G，S\E的连通分量称为面。如果面是单连通的（除非可能是非有界的无穷大面），则嵌入是正确的。嵌入的图形G^*称为图形G的对偶，如果它的顶点位于图形G的不同（且全部）面中，反之亦然，并且它的边连接具有对应相邻面的顶点。图形G及其对偶G*的边处于1 对 1对应关系。嵌入的图形及其对偶可以在中介图形M(G)的单个构造中统一，该构造将在本书后面定义。从上下文中将清楚如何对带边界图形的定义进行轻微修改。

可以嵌入在平面或球体中的图形称为平面图形。