二维逆问题/调和函数

调和函数可以定义为微分方程和差分方程拉普拉斯方程的解，如下所示。

在具有边界的图的顶点上定义的函数/向量 u 是调和的，如果它在每个内部顶点 p 处的值是其在相邻顶点处的值的平均值。也就是说，

$u(p)=\sum _{p\rightarrow q}\gamma (pq)u(q)/\sum _{p\rightarrow q}\gamma (pq).$

或者，u 满足基尔霍夫定律，用于每个内部顶点 p 处的电势

$\sum _{p\rightarrow q}\gamma (pq)(u(p)-u(q))=0.$

在流形 M 上的调和函数是两次连续可微函数 u : M → R，其中 u 满足拉普拉斯方程

$\Delta _{\gamma }u=\nabla \cdot (\gamma \nabla u)=0.$

在平面的开子集上定义的调和函数满足以下微分方程

$(\gamma u_{x})_{x}+(\gamma u_{y})_{y}=0.$

调和函数满足以下性质

• 均值性质

调和函数的值是其在相邻顶点处的值的加权平均值，

• 最大值原理

推论：调和函数的最大值（和最小值）出现在图或流形的边界上，

• 调和共轭

可以使用柯西-黎曼方程系统

${\begin{cases}\gamma u_{x}=v_{y},\\\gamma u_{y}=-v_{x}\end{cases}}$

来定义调和共轭。

解析/调和延拓是给定调和函数的定义域的扩展。

在方格网上的调和/解析延拓

狄利克雷问题

调和函数最小化能量积分或求和

$\int _{\Omega }\gamma |\nabla u|^{2}{\mbox{ and }}\sum _{e=(p,q)\in E}\gamma (e)(u(p)-u(q))^{2}$

如果函数的值分别在连续模型和离散模型中固定在域或网络的边界处。最小化函数/向量是具有指定边界数据的狄利克雷问题的解。