在本节中，考虑图的边的端点可以有顺序，使其成为一个有向图。在边上定义了正函数/向量的图称为加权图。
随机游走是粒子在离散时间图G上的以下过程
- 在t = 0时刻，粒子占据G中的顶点v。
- 在t = n+1时刻，粒子移动到其在t = n时刻位置的相邻节点，移动概率与连接/指向相邻节点的边的权重成正比。
选择图中顶点的子集作为边界，调和测度是G顶点上的函数/向量，等于粒子从顶点p开始随机游走，在边界上到达集合S中的顶点之前到达不在S中的边界顶点的概率。
从定义可知，p处单个边界节点b的调和测度等于从p到b的有限路径的总和
![{\displaystyle u_{b}(p)=\sum _{p{\xrightarrow[{}]{path}}b}(\prod _{e\in path}w(e)/\prod _{q\in (path-\{b\})}\sum _{q\rightarrow r}w(qr)),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/789d398f890c95338a769ea4044313c10d4f70ca)
或者
![{\displaystyle u_{b}(p)=\sum _{p{\xrightarrow[{}]{path}}b}\prod _{e=(qr)\in path}{\frac {w(e)}{\sum _{q\rightarrow r}w(qr)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91fc045a10042b9d13bb0a2c478d309765fb52b)
注意，边或顶点可能在路径中多次出现。
布朗运动是随机游走的连续/极限模拟。从算子的平均性质可以看出，粒子在布朗运动下的命中概率由上一节定义的调和函数描述。调和函数是共形不变的。
